Номер 7.5, страница 137 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

7.5. a) $T$ — точка касания вписанной в треугольник $ABC$ окружности со стороной $AB$ (рис. 222). Найдите расстояние от центра окружности $O$ до прямой $AC$.

Рис. 222

б) Найдите угол $\beta$, используя данные рисунка 223.

Рис. 223

a)

Окружность с центром в точке $O$ вписана в треугольник $ABC$. Расстояние от центра вписанной окружности $O$ до любой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности. Обозначим радиус как $r$. Следовательно, искомое расстояние от точки $O$ до прямой $AC$ равно $r$.

Точка $T$ — точка касания окружности со стороной $AB$. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, отрезок $OT$ перпендикулярен стороне $AB$, и треугольник $ATO$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $T$.

В прямоугольном треугольнике $ATO$ катет $AT$ равен 15, а гипотенуза $AO$ равна 17. Второй катет $OT$ является радиусом $r$ вписанной окружности. По теореме Пифагора:

$AO^2 = AT^2 + OT^2$

$17^2 = 15^2 + r^2$

$289 = 225 + r^2$

$r^2 = 289 - 225 = 64$

$r = \sqrt{64} = 8$

Таким образом, радиус вписанной окружности равен 8. Расстояние от центра окружности $O$ до прямой $AC$ также равно радиусу.

Ответ: 8.

б)

На рисунке 223 изображен равнобедренный треугольник, так как две его боковые стороны отмечены как равные. Угол при вершине этого треугольника равен $20^\circ$. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Сумма углов в треугольнике составляет $180^\circ$. Найдем углы при основании:

$(180^\circ - 20^\circ) / 2 = 160^\circ / 2 = 80^\circ$

Таким образом, каждый из углов при основании равен $80^\circ$.

Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения его биссектрис. Следовательно, отрезки, соединяющие центр окружности с вершинами углов при основании, являются биссектрисами этих углов. Они делят каждый из углов при основании ($80^\circ$) пополам:

$80^\circ / 2 = 40^\circ$

Угол $\beta$ является углом при вершине в новом треугольнике, образованном основанием исходного треугольника и двумя биссектрисами. Углы при основании этого нового треугольника равны $40^\circ$. Сумма углов в этом треугольнике также равна $180^\circ$. Найдем угол $\beta$:

$\beta = 180^\circ - (40^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$

Ответ: $100^\circ$.