Номер 7.1, страница 136 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

7.1. Используя данные рисунков 217, а), б), найдите длину отрезка OC.

а) б) $AO = OB = 6$

Рис. 217

а)

На рисунке 217 а) изображен треугольник $ABC$ и точка $O$, являющаяся точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам $AB$ и $BC$. Это следует из обозначений на рисунке: знаки прямого угла показывают перпендикулярность, а одинаковые штрихи на отрезках сторон показывают, что линии проходят через их середины.

Точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника является центром описанной около этого треугольника окружности. Важным свойством центра описанной окружности является то, что он равноудален от всех вершин треугольника.

Таким образом, расстояния от точки $O$ до вершин $A$, $B$ и $C$ равны между собой:

$OA = OB = OC$

Из условия задачи известно, что длина отрезка $OA$ равна 3.

$OA = 3$

Из этого следует, что длина отрезка $OC$ также равна 3.

Ответ: 3

б)

На рисунке 217 б) изображен треугольник $ABC$. По отметкам (одинарные штрихи) на сторонах $AB$ и $BC$ можно заключить, что $AB = BC$. Следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$.

Отрезок $BO$ делит угол $\angle ABC$ на два равных угла, что показано дугами. Значит, $BO$ является биссектрисой угла $\angle ABC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABO$ и $\triangle CBO$. В них:
1. $AB = CB$ (как боковые стороны равнобедренного треугольника).
2. $BO$ — общая сторона.
3. $\angle ABO = \angle CBO$ (так как $BO$ — биссектриса).

Следовательно, $\triangle ABO$ равен $\triangle CBO$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных элементов. В частности, сторона $OC$ треугольника $\triangle CBO$ равна соответственной стороне $OA$ треугольника $\triangle ABO$.

$OC = OA$

По условию задачи дано, что $AO = 6$.

Следовательно, $OC = 6$.

Ответ: 6