Номер 6.2, страница 134 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

6.2. a) Используя данные рисунка 215, найдите сторону CD прямоугольника ABCD.

б) $AB$ — диаметр окружности с центром $O$, $CD = 8$, $AM = 2$ (рис. 216). Найдите $OB$.

Рис. 215

Рис. 216

а)

Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, его угол $\angle B$ прямой, то есть $\angle B = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $\triangle ABC$ является прямоугольным с гипотенузой $AC$.

На рисунке 215 показана высота, опущенная из вершины прямого угла $B$ на гипотенузу $AC$. Обозначим точку ее основания как $H$. Эта высота делит гипотенузу на два отрезка, $AH$ и $HC$, которые являются проекциями катетов $AB$ и $BC$ на гипотенузу. Из данных рисунка следует, что $AH = 2$ и $HC = 6$.

Длина гипотенузы $AC$ равна сумме длин ее частей: $AC = AH + HC = 2 + 6 = 8$.

В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Для катета $AB$ это соотношение выглядит так: $AB^2 = AC \cdot AH$.

Подставим известные значения в формулу: $AB^2 = 8 \cdot 2 = 16$.

Отсюда находим длину катета $AB$: $AB = \sqrt{16} = 4$.

Так как $ABCD$ — прямоугольник, его противоположные стороны равны, то есть $CD = AB$.

Следовательно, $CD = 4$.

Ответ: 4.

б)

Пусть $R$ — это радиус окружности с центром в точке $O$. Отрезок $OB$ является радиусом, поэтому $OB = R$. Отрезок $OA$ также является радиусом, $OA = R$. Диаметр $AB = 2R$.

Хорда $CD$ перпендикулярна диаметру $AB$ и пересекает его в точке $M$. По свойству хорды, перпендикулярной диаметру, точка пересечения $M$ делит хорду пополам. Длина хорды $CD = 8$, значит $CM = MD = \frac{CD}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OMC$. Так как $CD \perp AB$, угол $\angle OMC = 90^\circ$, и треугольник $\triangle OMC$ — прямоугольный. Отрезок $OC$ — это радиус, проведенный к точке $C$ на окружности, поэтому он является гипотенузой этого треугольника, и его длина $OC = R$.

Из условия задачи известно, что $AM = 2$. Точка $M$ лежит на радиусе $OA$. Мы можем выразить длину катета $OM$ через радиус $R$: $OM = OA - AM = R - 2$.

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $\triangle OMC$: $OC^2 = OM^2 + CM^2$.

Подставим полученные выражения в уравнение:

$R^2 = (R-2)^2 + 4^2$

Решим это уравнение относительно $R$:

$R^2 = (R^2 - 4R + 4) + 16$

$R^2 = R^2 - 4R + 20$

$0 = -4R + 20$

$4R = 20$

$R = 5$

Таким образом, радиус окружности равен 5. Так как $OB$ — это радиус, то $OB = 5$.

Ответ: 5.