Номер 5.9, страница 133 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

5.9. Найдите площадь прямоугольника NMKP, изображенного на рисунке 210.

N

P

$3\sqrt{2}$

$67.5^\circ$

M

K

Рис. 210

5.9.

Для нахождения площади прямоугольника NMKP необходимо найти длины его смежных сторон, например, MK и NM. Площадь будет равна их произведению: $S_{NMKP} = MK \times NM$.

Нам даны длина диагонали $NK = 3\sqrt{2}$ и угол $\angle PKN = 67.5^\circ$.

Поскольку NMKP — это прямоугольник, все его углы прямые, то есть равны $90^\circ$. Рассмотрим угол при вершине K, $\angle MKP = 90^\circ$. Этот угол состоит из двух частей: $\angle MKN$ и $\angle PKN$.

Мы можем найти угол $\angle MKN$, вычтя известный угол $\angle PKN$ из прямого угла $\angle MKP$:
$\angle MKN = \angle MKP - \angle PKN = 90^\circ - 67.5^\circ = 22.5^\circ$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle NMK$ (угол $\angle NMK = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известна гипотенуза $NK = 3\sqrt{2}$ и прилежащий к катету MK острый угол $\angle MKN = 22.5^\circ$.

С помощью тригонометрических соотношений в прямоугольном треугольнике найдем длины катетов, которые являются сторонами прямоугольника:

Катет $MK$, прилежащий к углу $\angle MKN$:
$MK = NK \times \cos(\angle MKN) = 3\sqrt{2} \times \cos(22.5^\circ)$.

Катет $NM$, противолежащий углу $\angle MKN$:
$NM = NK \times \sin(\angle MKN) = 3\sqrt{2} \times \sin(22.5^\circ)$.

Теперь вычислим площадь прямоугольника:

$S_{NMKP} = MK \times NM = (3\sqrt{2} \times \cos(22.5^\circ)) \times (3\sqrt{2} \times \sin(22.5^\circ))$

$S_{NMKP} = (3\sqrt{2})^2 \times \sin(22.5^\circ) \cos(22.5^\circ)$

$S_{NMKP} = (9 \times 2) \times \sin(22.5^\circ) \cos(22.5^\circ) = 18 \times \sin(22.5^\circ) \cos(22.5^\circ)$

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$. Отсюда следует, что $\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.

Применим эту формулу для $\alpha = 22.5^\circ$:

$S_{NMKP} = 18 \times \frac{1}{2}\sin(2 \times 22.5^\circ) = 9 \times \sin(45^\circ)$

Мы знаем, что $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим это значение в формулу площади:

$S_{NMKP} = 9 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{9\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{9\sqrt{2}}{2}$.