Номер 5.2, страница 131 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

5.2. a) Две стороны треугольника равны 8 см и 5 см, а косинус угла между ними равен -0,5. Найдите площадь треугольника.

б) Площадь треугольника равна 1,5 $см^2$, а две его стороны — 2 см и 3 см. Найдите угол между этими сторонами.

а)

Для нахождения площади треугольника используется формула, связывающая площадь с двумя сторонами и синусом угла между ними:
$S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$, где $a$ и $b$ — длины сторон, а $\gamma$ — угол между ними.

По условию задачи, стороны треугольника равны $a = 8$ см и $b = 5$ см, а косинус угла $\gamma$ между ними равен $\cos \gamma = -0.5$.

Чтобы использовать формулу площади, нам необходимо найти синус этого угла. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma = 1$.

Выразим и найдем $\sin^2 \gamma$:
$\sin^2 \gamma = 1 - \cos^2 \gamma$
$\sin^2 \gamma = 1 - (-0.5)^2 = 1 - 0.25 = 0.75$

Так как $\gamma$ является углом треугольника, его значение лежит в интервале $(0^\circ, 180^\circ)$, а значит, его синус всегда положителен. Поэтому:
$\sin \gamma = \sqrt{0.75} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь мы можем подставить все известные значения в формулу площади:
$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{40}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$ см².

Ответ: $10\sqrt{3}$ см².

б)

Для решения этой задачи также используется формула площади треугольника через две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$.

По условию, площадь треугольника $S = 1,5$ см², а длины двух его сторон $a = 2$ см и $b = 3$ см. Нам нужно найти угол $\gamma$ между этими сторонами.

Подставим известные данные в формулу площади:
$1,5 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \sin \gamma$

Упростим правую часть уравнения:
$1,5 = 1 \cdot 3 \cdot \sin \gamma$
$1,5 = 3 \sin \gamma$

Теперь выразим $\sin \gamma$:
$\sin \gamma = \frac{1,5}{3} = 0,5$

Угол $\gamma$ в треугольнике может принимать значения от $0^\circ$ до $180^\circ$. В этом диапазоне синус равен 0,5 для двух углов:
1. Острый угол: $\gamma_1 = \arcsin(0,5) = 30^\circ$
2. Тупой угол: $\gamma_2 = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$
Оба этих значения являются корректными решениями, так как без дополнительной информации невозможно однозначно определить, является ли угол острым или тупым.

Ответ: $30^\circ$ или $150^\circ$.