Номер 3.2, страница 128 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

3.2. a) Выберите верные равенства:

1) $\sin 14^\circ = \cos 14^\circ - 1$

2) $\cos^2 23^\circ 12^\prime = 1 - \sin^2 23^\circ 12^\prime$

3) $\operatorname{tg} 67^\circ \cdot \operatorname{ctg} 65^\circ = 1$

4) $\cos 88^\circ = \sqrt{1 - \sin^2 88^\circ}$

5) $\operatorname{tg} 2^\circ = \frac{1}{\operatorname{ctg} 2^\circ}$

б) Выберите верные равенства:

1) $\sin^2 19^\circ = 1 - \cos^2 19^\circ$

2) $\operatorname{tg} 85^\circ 42^\prime \cdot \operatorname{ctg} 85^\circ 42^\prime = 1$

3) $\operatorname{tg}^2 6^\circ + \operatorname{ctg}^2 6^\circ = 1$

4) $\cos 54^\circ 4^\prime = \sqrt{1 - \sin^2 54^\circ}$

5) $\operatorname{tg} 32^\circ = \frac{1}{\operatorname{ctg} 30^\circ}$

а)

Проанализируем каждое равенство:

1) $sin14° = cos14° - 1$.
Равенство неверно. Угол $14°$ находится в первой координатной четверти, поэтому $sin14° > 0$. В то же время $cos14° < 1$, поэтому $cos14° - 1 < 0$. Положительное число не может равняться отрицательному.

2) $cos²23°12' = 1 - sin²23°12'$.
Это равенство является следствием основного тригонометрического тождества $sin²α + cos²α = 1$. Если выразить $cos²α$, получим $cos²α = 1 - sin²α$. Для $α = 23°12'$ равенство верно.

3) $tg67° ⋅ ctg65° = 1$.
Равенство неверно. Тождество $tgα ⋅ ctgα = 1$ справедливо только тогда, когда в обеих функциях аргументы (углы) равны. Здесь углы разные: $67° ≠ 65°$.

4) $cos88° = \sqrt{1 - sin²88°}$.
Из основного тригонометрического тождества следует, что $cos²α = 1 - sin²α$. Извлекая квадратный корень, получаем $|cosα| = \sqrt{1 - sin²α}$. Поскольку угол $88°$ находится в первой четверти, $cos88° > 0$. Таким образом, $|cos88°| = cos88°$, и равенство верно.

5) $tg2° = \frac{1}{ctg2°}$.
Это одна из основных формул, выражающая тангенс через котангенс: $tgα = \frac{1}{ctgα}$. Равенство верно.

Ответ: верные равенства — 2, 4, 5.

б)

Проанализируем каждое равенство:

1) $sin²19° = 1 - cos²19°$.
Это равенство является следствием основного тригонометрического тождества $sin²α + cos²α = 1$. Если выразить $sin²α$, получим $sin²α = 1 - cos²α$. Для $α = 19°$ равенство верно.

2) $tg85°42' ⋅ ctg85°42' = 1$.
Это основное тождество $tgα ⋅ ctgα = 1$. Так как аргументы у тангенса и котангенса одинаковы ($α = 85°42'$), равенство является верным.

3) $tg²6° + ctg²6° = 1$.
Равенство неверно. Такого тригонометрического тождества не существует. Например, если взять $α = 45°$, то $tg45°=1$ и $ctg45°=1$. Тогда $tg²45° + ctg²45° = 1² + 1² = 2$, что не равно 1.

4) $cos54°4' = \sqrt{1 - sin²54°}$.
Равенство неверно. Правая часть равенства, согласно основному тригонометрическому тождеству, равна $|cos54°|$. Так как $54°$ - угол первой четверти, $cos54° > 0$, и правая часть равна $cos54°$. Равенство принимает вид $cos54°4' = cos54°$, что неверно, поскольку углы не равны.

5) $tg32° = \frac{1}{ctg30°}$.
Равенство неверно. Тождество $tgα = \frac{1}{ctgα}$ справедливо только для одинаковых углов. Здесь углы разные: $32° ≠ 30°$.

Ответ: верные равенства — 1, 2.