Номер 3.1, страница 128 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

3.1. a) Пусть $\alpha$ — острый угол и $\sin\alpha = \frac{8}{17}$. Найдите $\cos\alpha$, $\text{tg}\alpha$, $\text{ctg}\alpha$.

б) Пусть $\alpha$ — острый угол и $\cos\alpha = \frac{24}{25}$. Найдите $\sin\alpha$, $\text{tg}\alpha$, $\text{ctg}\alpha$.

а)

Дано, что $\alpha$ — острый угол и $sin\alpha = \frac{8}{17}$.

Для нахождения $cos\alpha$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.

Выразим $cos^2\alpha$:

$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha$.

Подставим известное значение $sin\alpha$:

$cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{8}{17}\right)^2 = 1 - \frac{64}{289} = \frac{289 - 64}{289} = \frac{225}{289}$.

Поскольку $\alpha$ — острый угол (находится в первой четверти), его косинус положителен. Следовательно:

$cos\alpha = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17}$.

Теперь найдем тангенс и котангенс, используя их определения:

$tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} = \frac{8/17}{15/17} = \frac{8}{17} \cdot \frac{17}{15} = \frac{8}{15}$.

$ctg\alpha = \frac{cos\alpha}{sin\alpha} = \frac{15/17}{8/17} = \frac{15}{17} \cdot \frac{17}{8} = \frac{15}{8}$.

Ответ: $cos\alpha = \frac{15}{17}$, $tg\alpha = \frac{8}{15}$, $ctg\alpha = \frac{15}{8}$.

б)

Дано, что $\alpha$ — острый угол и $cos\alpha = \frac{24}{25}$.

Для нахождения $sin\alpha$ снова используем основное тригонометрическое тождество: $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.

Выразим $sin^2\alpha$:

$sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha$.

Подставим известное значение $cos\alpha$:

$sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{24}{25}\right)^2 = 1 - \frac{576}{625} = \frac{625 - 576}{625} = \frac{49}{625}$.

Поскольку $\alpha$ — острый угол (находится в первой четверти), его синус положителен. Следовательно:

$sin\alpha = \sqrt{\frac{49}{625}} = \frac{7}{25}$.

Теперь найдем тангенс и котангенс:

$tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} = \frac{7/25}{24/25} = \frac{7}{25} \cdot \frac{25}{24} = \frac{7}{24}$.

$ctg\alpha = \frac{cos\alpha}{sin\alpha} = \frac{24/25}{7/25} = \frac{24}{25} \cdot \frac{25}{7} = \frac{24}{7}$.

Ответ: $sin\alpha = \frac{7}{25}$, $tg\alpha = \frac{7}{24}$, $ctg\alpha = \frac{24}{7}$.