Номер 3.4, страница 129 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

3.4. a) Высота ромба равна $10\sqrt{2}$ см, а тангенс острого угла ромба равен $\frac{5}{12}$. Найдите периметр ромба.

б) Периметр ромба равен $24\sqrt{5}$ см, найдите высоту ромба, если косинус острого угла ромба равен $\frac{2}{3}$.

а)

Пусть $a$ — сторона ромба, $h$ — его высота, а $\alpha$ — острый угол ромба. Высота, опущенная на сторону, образует с другой стороной прямоугольный треугольник. В этом треугольнике сторона ромба $a$ является гипотенузой, а высота $h$ — катетом, противолежащим углу $\alpha$. Следовательно, они связаны соотношением: $\sin(\alpha) = \frac{h}{a}$. Отсюда мы можем выразить сторону ромба: $a = \frac{h}{\sin(\alpha)}$.

По условию, тангенс острого угла равен $\tan(\alpha) = \frac{5}{12}$. Нам нужно найти синус этого угла. Воспользуемся тригонометрическим тождеством $1 + \cot^2(\alpha) = \frac{1}{\sin^2(\alpha)}$.
Сначала найдем котангенс: $\cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)} = \frac{12}{5}$.

Теперь подставим значение котангенса в тождество, чтобы найти синус:
$\frac{1}{\sin^2(\alpha)} = 1 + \left(\frac{12}{5}\right)^2 = 1 + \frac{144}{25} = \frac{25+144}{25} = \frac{169}{25}$
Отсюда $\sin^2(\alpha) = \frac{25}{169}$.
Так как $\alpha$ — острый угол ромба, его синус положителен: $\sin(\alpha) = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}$.

Теперь мы можем вычислить сторону ромба $a$, зная, что высота $h = 10\sqrt{2}$ см:
$a = \frac{h}{\sin(\alpha)} = \frac{10\sqrt{2}}{\frac{5}{13}} = 10\sqrt{2} \cdot \frac{13}{5} = 2\sqrt{2} \cdot 13 = 26\sqrt{2}$ см.

Периметр ромба $P$ — это сумма длин всех его четырех равных сторон, то есть $P = 4a$.
$P = 4 \cdot 26\sqrt{2} = 104\sqrt{2}$ см.
Ответ: $104\sqrt{2}$ см.

б)

Периметр ромба $P$ равен $4a$, где $a$ — длина его стороны. По условию $P = 24\sqrt{5}$ см. Найдем сторону ромба:
$a = \frac{P}{4} = \frac{24\sqrt{5}}{4} = 6\sqrt{5}$ см.

Высота ромба $h$ связана со стороной $a$ и острым углом $\alpha$ формулой $h = a \cdot \sin(\alpha)$. По условию дан косинус острого угла: $\cos(\alpha) = \frac{2}{3}$.

Чтобы найти высоту, нам нужен синус этого угла. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.
$\sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha) = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.
Поскольку $\alpha$ — острый угол, его синус является положительной величиной: $\sin(\alpha) = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.

Теперь мы можем найти высоту ромба, подставив известные значения $a$ и $\sin(\alpha)$:
$h = a \cdot \sin(\alpha) = 6\sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{6 \cdot (\sqrt{5})^2}{3} = \frac{6 \cdot 5}{3} = \frac{30}{3} = 10$ см.
Ответ: 10 см.