Номер 3.3, страница 129 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

3.3. a) Найдите отношение меньшего катета прямоугольного треугольника к гипотенузе, если тангенс одного из углов треугольника равен $4\sqrt{5}$.

б) Найдите отношение меньшего катета прямоугольного треугольника к большему, если синус одного из углов треугольника равен $\frac{2\sqrt{5}}{25}$.

а) Пусть в прямоугольном треугольнике катеты равны a и b, а гипотенуза равна c. Пусть α — один из острых углов этого треугольника. По условию, тангенс одного из углов равен $4\sqrt{5}$. Пусть $\tan(\alpha) = 4\sqrt{5}$. Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему. Пусть катет a противолежит углу α, а катет b прилежит к нему. Тогда: $\tan(\alpha) = \frac{a}{b} = 4\sqrt{5}$ Поскольку $4\sqrt{5} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{80} > 1$, то из соотношения $\frac{a}{b} > 1$ следует, что $a > b$. Таким образом, катет b является меньшим катетом. Нам необходимо найти отношение меньшего катета к гипотенузе, то есть $\frac{b}{c}$. Для нахождения этого отношения воспользуемся теоремой Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$. Из соотношения $\frac{a}{b} = 4\sqrt{5}$ выразим a через b: $a = 4\sqrt{5} \cdot b$. Подставим это выражение в теорему Пифагора: $(4\sqrt{5}b)^2 + b^2 = c^2$ $16 \cdot 5 \cdot b^2 + b^2 = c^2$ $80b^2 + b^2 = c^2$ $81b^2 = c^2$ Извлекая квадратный корень из обеих частей (так как длины сторон положительны), получаем: $c = 9b$ Теперь мы можем найти искомое отношение меньшего катета b к гипотенузе c: $\frac{b}{c} = \frac{b}{9b} = \frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9}$

б) Пусть в прямоугольном треугольнике катеты равны a и b, а гипотенуза равна c. Пусть α — один из острых углов. По условию, синус одного из углов равен $\frac{2\sqrt{5}}{25}$. Пусть $\sin(\alpha) = \frac{2\sqrt{5}}{25}$. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Пусть катет a противолежит углу α. Тогда: $\sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{2\sqrt{5}}{25}$ Чтобы найти отношение меньшего катета к большему, нам нужно определить, какой из катетов (a или b) является меньшим. Для этого найдем отношение второго катета b к гипотенузе c. Это отношение равно косинусу угла α: $\cos(\alpha) = \frac{b}{c}$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$. Так как α — острый угол, его косинус положителен. $\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) = 1 - \left(\frac{2\sqrt{5}}{25}\right)^2 = 1 - \frac{4 \cdot 5}{625} = 1 - \frac{20}{625} = \frac{605}{625}$ $\cos(\alpha) = \sqrt{\frac{605}{625}} = \frac{\sqrt{121 \cdot 5}}{25} = \frac{11\sqrt{5}}{25}$ Итак, мы имеем два отношения: $\frac{a}{c} = \frac{2\sqrt{5}}{25}$ $\frac{b}{c} = \frac{11\sqrt{5}}{25}$ Сравнивая числители, видим, что $2\sqrt{5} < 11\sqrt{5}$, следовательно, $a < b$. Значит, a — это меньший катет, а b — больший. Нам нужно найти отношение меньшего катета к большему, то есть $\frac{a}{b}$. Мы можем найти это отношение, разделив $\frac{a}{c}$ на $\frac{b}{c}$: $\frac{a}{b} = \frac{a/c}{b/c} = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\frac{2\sqrt{5}}{25}}{\frac{11\sqrt{5}}{25}} = \frac{2\sqrt{5}}{11\sqrt{5}} = \frac{2}{11}$

Ответ: $\frac{2}{11}$