Номер 2.12, страница 128 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

2.12. В равнобедренной трапеции со взаимно перпендикулярными диагоналями боковая сторона равна $m$, а острый угол — $\beta$. Докажите, что площадь трапеции равна $m^2 \sin^2 \beta$.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, боковыми сторонами $AB = CD = m$ и острым углом при большем основании $\angle CDA = \beta$. По условию, диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны.

Сначала установим свойство равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями, связывающее ее площадь $S$ и высоту $h$. Пусть диагонали пересекаются в точке $O$. Так как трапеция равнобедренная, а ее диагонали перпендикулярны, то треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ являются равнобедренными прямоугольными треугольниками.

Проведем высоту трапеции через точку $O$. Она будет состоять из высот треугольников $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$, опущенных из точки $O$ на основания $AD$ и $BC$. В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы. Следовательно, высота из точки $O$ на основание $AD$ равна $\frac{AD}{2}$, а на основание $BC$ — $\frac{BC}{2}$.

Таким образом, высота всей трапеции $h$ равна сумме этих высот:$h = \frac{AD}{2} + \frac{BC}{2} = \frac{AD+BC}{2}$. Это означает, что высота трапеции равна ее средней линии.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{AD+BC}{2} \cdot h$. Заменив среднюю линию $\frac{AD+BC}{2}$ на равную ей высоту $h$, получаем:$S = h \cdot h = h^2$.

Теперь найдем высоту $h$ через заданные в условии величины $m$ и $\beta$. Проведем высоту $CK$ из вершины $C$ на основание $AD$. В получившемся прямоугольном треугольнике $\triangle CKD$ гипотенузой является боковая сторона $CD=m$, катет $CK$ является высотой трапеции $h$, а угол $\angle CDK$ равен $\beta$.

По определению синуса в прямоугольном треугольнике:$\sin \beta = \frac{CK}{CD} = \frac{h}{m}$.

Отсюда выражаем высоту трапеции:$h = m \sin \beta$.

Наконец, подставляем полученное выражение для высоты в формулу площади $S = h^2$:$S = (m \sin \beta)^2 = m^2 \sin^2 \beta$.

Таким образом, утверждение, что площадь трапеции равна $m^2 \sin^2 \beta$, доказано.

Ответ: Доказано, что площадь трапеции равна $m^2 \sin^2 \beta$.