Номер 2.5, страница 127 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

2.5. а) Площадь прямоугольника равна $3\sqrt{3} \text{ см}^2$, а его диагональ делит угол прямоугольника в отношении 1 : 2. Найдите периметр прямоугольника.

б) Тангенс одного из острых углов, на которые диагональ прямоугольника делит его угол, равен 0,4. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен $14\sqrt{2} \text{ см}$.

а)

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Его площадь $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. По условию, $S = 3\sqrt{3}$ см$^2$.

Все углы прямоугольника равны $90^\circ$. Диагональ делит один из этих углов на два острых угла в отношении $1:2$. Обозначим эти углы как $\alpha$ и $2\alpha$. В сумме они составляют $90^\circ$:

$\alpha + 2\alpha = 90^\circ$

$3\alpha = 90^\circ$

$\alpha = 30^\circ$

Таким образом, диагональ делит угол прямоугольника на два угла: $30^\circ$ и $60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный сторонами прямоугольника $a$, $b$ и его диагональю. Углы, которые диагональ образует со сторонами $a$ и $b$, как раз и являются этими углами. Пусть $\alpha_1 = 30^\circ$ — это угол между стороной $b$ и диагональю. Тогда тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета ($a$) к прилежащему ($b$):

$\tan(30^\circ) = \frac{a}{b}$

Мы знаем, что $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Следовательно:

$\frac{a}{b} = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies b = a\sqrt{3}$

Теперь подставим это соотношение в формулу площади:

$S = a \cdot b = a \cdot (a\sqrt{3}) = a^2\sqrt{3}$

Поскольку $S = 3\sqrt{3}$, получаем:

$a^2\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$

$a^2 = 3 \implies a = \sqrt{3}$ см (длина стороны не может быть отрицательной).

Теперь найдем вторую сторону $b$:

$b = a\sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$ см.

Периметр прямоугольника $P$ равен $P = 2(a+b)$. Подставим найденные значения сторон:

$P = 2(\sqrt{3} + 3) = 6 + 2\sqrt{3}$ см.

Ответ: $6 + 2\sqrt{3}$ см.

б)

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Его периметр $P$ равен $2(a+b)$, а площадь $S$ равна $a \cdot b$. По условию, $P = 14\sqrt{2}$ см.

$2(a+b) = 14\sqrt{2}$

$a+b = 7\sqrt{2}$

Диагональ делит прямой угол прямоугольника на два острых угла. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный сторонами $a$, $b$ и диагональю. Тангенс одного из острых углов в этом треугольнике (например, угла, прилежащего к стороне $b$) равен отношению противолежащего катета ($a$) к прилежащему ($b$).

По условию, тангенс одного из этих углов равен $0,4$.

$\frac{a}{b} = 0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

Из этого соотношения выразим $a$ через $b$:

$a = \frac{2}{5}b$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1) $a+b = 7\sqrt{2}$

2) $a = \frac{2}{5}b$

Подставим второе уравнение в первое:

$\frac{2}{5}b + b = 7\sqrt{2}$

$\frac{7}{5}b = 7\sqrt{2}$

Разделим обе части на 7:

$\frac{1}{5}b = \sqrt{2} \implies b = 5\sqrt{2}$ см.

Теперь найдем сторону $a$:

$a = \frac{2}{5}b = \frac{2}{5}(5\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$ см.

Мы нашли длины сторон прямоугольника: $2\sqrt{2}$ см и $5\sqrt{2}$ см. Теперь найдем его площадь $S$:

$S = a \cdot b = (2\sqrt{2}) \cdot (5\sqrt{2}) = 10 \cdot (\sqrt{2})^2 = 10 \cdot 2 = 20$ см$^2$.

Ответ: $20$ см$^2$.