Номер 1.5, страница 125 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

1.5. a) Докажите, что $tg15^\circ = 2 - \sqrt{3}$, используя прямоугольный треугольник, один из углов которого равен $30^\circ$.

б) Докажите, что $tg22.5^\circ = \sqrt{2} - 1$, используя равнобедренный прямоугольный треугольник.

а) Докажите, что $\text{tg}15^\circ = 2-\sqrt{3}$, используя прямоугольный треугольник, один из углов которого равен $30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCD$, в котором $\angle C = 90^\circ$, а $\angle BDC = 30^\circ$. Следовательно, $\angle CBD = 60^\circ$.

Пусть длина катета $BC$, противолежащего углу в $30^\circ$, равна 1. Тогда из свойств прямоугольного треугольника с углами $30^\circ$ и $60^\circ$ гипотенуза $BD = 2 \cdot BC = 2$, а второй катет $CD = \frac{BC}{\text{tg}30^\circ} = \frac{1}{1/\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.

Продлим катет $CD$ за точку $C$ до точки $A$ так, что $AD = BD = 2$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. По построению он является равнобедренным ($AD = BD$), поэтому углы при основании $AB$ равны: $\angle DAB = \angle DBA$.

Угол $BDC$ является внешним углом для треугольника $ABD$ при вершине $D$. По свойству внешнего угла, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

$\angle BDC = \angle DAB + \angle DBA$

Так как $\angle BDC = 30^\circ$ и $\angle DAB = \angle DBA$, получаем $30^\circ = 2 \cdot \angle DAB$, откуда $\angle DAB = 15^\circ$.

Теперь рассмотрим большой прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$). В нем $\angle A = 15^\circ$. Тангенс этого угла есть отношение противолежащего катета к прилежащему:

$\text{tg}15^\circ = \frac{BC}{AC}$

Мы знаем, что $BC=1$. Длина катета $AC$ равна сумме длин отрезков $AD$ и $DC$: $AC = AD + DC = 2 + \sqrt{3}$.

Подставим значения: $\text{tg}15^\circ = \frac{1}{2+\sqrt{3}}$.

Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $2-\sqrt{3}$:

$\text{tg}15^\circ = \frac{1}{2+\sqrt{3}} \cdot \frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} = \frac{2-\sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = 2-\sqrt{3}$.

Таким образом, равенство доказано.

Ответ: $\text{tg}15^\circ = 2-\sqrt{3}$.

б) Докажите, что $\text{tg}22,5^\circ = \sqrt{2}-1$, используя равнобедренный прямоугольный треугольник.

Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник $BCD$, в котором $\angle C = 90^\circ$, а острые углы $\angle CBD = \angle BDC = 45^\circ$.

Пусть равные катеты $BC$ и $CD$ равны 1, то есть $BC = CD = 1$.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу $BD$: $BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Продлим катет $CD$ за точку $C$ до точки $A$ так, что $AD = BD = \sqrt{2}$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Он равнобедренный, так как по построению $AD=BD$. Следовательно, углы при основании $AB$ равны: $\angle DAB = \angle DBA$.

Угол $BDC$ является внешним углом для треугольника $ABD$ при вершине $D$. Его величина равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

$\angle BDC = \angle DAB + \angle DBA$

Так как $\angle BDC = 45^\circ$ и $\angle DAB = \angle DBA$, получаем $45^\circ = 2 \cdot \angle DAB$, откуда $\angle DAB = 22,5^\circ$.

Теперь рассмотрим большой прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$). В нем $\angle A = 22,5^\circ$. Тангенс этого угла равен:

$\text{tg}22,5^\circ = \frac{BC}{AC}$

Мы знаем, что $BC=1$. Длина катета $AC$ равна сумме отрезков $AD$ и $DC$: $AC = AD + DC = \sqrt{2} + 1$.

Подставим значения: $\text{tg}22,5^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}+1}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{2}-1$:

$\text{tg}22,5^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2}-1}{2-1} = \sqrt{2}-1$.

Таким образом, равенство доказано.

Ответ: $\text{tg}22,5^\circ = \sqrt{2}-1$.