Номер 29.8, страница 123 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

29.8. Точки $A$, $B$ и $C$ принадлежат сторонам квадрата, площадь которого равна
$100 \text{ см}^2$. Полуокружность диаметром $AC$
касается стороны квадрата в точке $B$
(рис. 204). Найдите длину $AC$.

Рис. 204

Площадь квадрата равна 100 см², следовательно, длина его стороны a равна $a = \sqrt{100} = 10$ см.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Поместим начало координат в левый нижний угол квадрата. Тогда вершины квадрата будут иметь координаты (0, 0), (10, 0), (10, 10) и (0, 10). Из рисунка 204 следует, что:

• Точка A лежит на верхней стороне квадрата (линия $y=10$).
• Точка C — на правой стороне квадрата (линия $x=10$).
• Полуокружность с диаметром AC касается левой стороны квадрата (линия $x=0$) в точке B.

Из рисунка также видно, что полуокружность касается и нижней стороны квадрата (линия $y=0$). Будем считать это дополнительным условием, подразумеваемым в задаче.

Пусть R — радиус полуокружности, а O — ее центр. Так как полуокружность касается левой стороны квадрата ($x=0$) и нижней стороны ($y=0$), расстояние от центра O до этих сторон равно радиусу R. Таким образом, координаты центра O равны $(R, R)$.

Точки A и C являются концами диаметра. Координаты точки A, лежащей на верхней стороне ($y=10$), можно записать как $(x_A, 10)$. Координаты точки C, лежащей на правой стороне ($x=10$), можно записать как $(10, y_C)$.

Центр O является серединой диаметра AC. Используя формулу для нахождения координат середины отрезка, получаем:

$x_O = \frac{x_A + 10}{2}$ и $y_O = \frac{10 + y_C}{2}$

Поскольку мы определили, что $x_O = R$ и $y_O = R$, мы можем составить систему уравнений:

$R = \frac{x_A + 10}{2} \implies x_A = 2R - 10$

$R = \frac{10 + y_C}{2} \implies y_C = 2R - 10$

Расстояние от центра $O(R, R)$ до точки $A(x_A, 10)$ на окружности равно радиусу R. Применим формулу расстояния между двумя точками:

$R^2 = (x_A - R)^2 + (10 - R)^2$

Подставим в это уравнение найденное выражение для $x_A = 2R - 10$:

$R^2 = ((2R - 10) - R)^2 + (10 - R)^2$

$R^2 = (R - 10)^2 + (10 - R)^2$

Так как $(10 - R)^2 = (-(R - 10))^2 = (R - 10)^2$, уравнение упрощается:

$R^2 = 2(R - 10)^2$

$R^2 = 2(R^2 - 20R + 100)$

$R^2 = 2R^2 - 40R + 200$

$R^2 - 40R + 200 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно R:

$R = \frac{-(-40) \pm \sqrt{(-40)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 200}}{2 \cdot 1} = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 800}}{2} = \frac{40 \pm \sqrt{800}}{2}$

Упростим корень: $\sqrt{800} = \sqrt{400 \cdot 2} = 20\sqrt{2}$.

$R = \frac{40 \pm 20\sqrt{2}}{2} = 20 \pm 10\sqrt{2}$

Мы получили два возможных значения для радиуса: $R_1 = 20 + 10\sqrt{2}$ и $R_2 = 20 - 10\sqrt{2}$.

Поскольку полуокружность находится внутри квадрата со стороной 10, ее радиус не может быть больше 10. Оценим значения корней:

$R_1 = 20 + 10\sqrt{2} \approx 20 + 10 \cdot 1.414 = 34.14$. Этот корень не подходит, так как $34.14 > 10$.

$R_2 = 20 - 10\sqrt{2} \approx 20 - 14.14 = 5.86$. Этот корень подходит, так как $0 < 5.86 < 10$.

Таким образом, радиус полуокружности равен $R = 20 - 10\sqrt{2}$ см.

Требуется найти длину AC, которая является диаметром полуокружности. Диаметр равен $2R$.

$AC = 2R = 2(20 - 10\sqrt{2}) = 40 - 20\sqrt{2}$ см.

Ответ: $40 - 20\sqrt{2}$ см.