Номер 29.3, страница 122 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

29.3. По данным рисунков 198, а), б) найдите значение $k$.

а)Для рисунка а): $k^2 = 3 \cdot (3 + 12)$

б)Для рисунка б): $k^2 = 4 \cdot (4 + 16)$

Рис. 198

а) Для решения задачи воспользуемся теоремой о касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности. Теорема гласит, что квадрат длины отрезка касательной равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть. В данном случае длина отрезка касательной равна $k$. Длина внешней части секущей равна $3$, а длина внутренней части (хорды) — $12$. Полная длина секущей равна сумме ее внешней и внутренней частей: $3 + 12 = 15$. Составим уравнение на основе теоремы: $k^2 = 3 \times 15$. Вычисляем: $k^2 = 45$. Так как длина отрезка является положительной величиной, извлекаем квадратный корень: $k = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$. Ответ: $3\sqrt{5}$.

б) Аналогично пункту а), применим теорему о касательной и секущей. Длина отрезка касательной равна $k$. Длина внешней части секущей равна $4$, а длина хорды — $16$. Полная длина секущей будет $4 + 16 = 20$. Согласно теореме, квадрат длины касательной равен произведению всей секущей на ее внешнюю часть. Составляем уравнение: $k^2 = 4 \times 20$. Вычисляем: $k^2 = 80$. Поскольку $k$ — это длина, оно должно быть положительным: $k = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$. Ответ: $4\sqrt{5}$.