Номер 28.1, страница 119 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

28.1. a) По данным рисунка 189 найдите градусную меру угла $\angle BMC$, если $\overset{\frown}{AD} = 142^\circ$, $\overset{\frown}{BC} = 158^\circ$.

б) По данным рисунка 190 найдите градусную меру угла $\angle AMC$, если $\overset{\frown}{AC} = 41^\circ$, $\overset{\frown}{DB} = 29^\circ$.

Рис. 189

Рис. 190

a) Угол, образованный пересечением двух хорд внутри окружности, равен полусумме градусных мер дуг, которые он и вертикальный ему угол высекают на окружности. В данном случае хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$. Угол $BMC$ и вертикальный ему угол $AMD$ высекают на окружности дуги $\smile BC$ и $\smile AD$ соответственно. Для нахождения градусной меры угла $BMC$ используется следующая формула:
$\angle BMC = \frac{1}{2}(\smile BC + \smile AD)$
Подставим известные значения из условия задачи: $\smile AD = 142^\circ$ и $\smile BC = 158^\circ$.
$\angle BMC = \frac{1}{2}(158^\circ + 142^\circ) = \frac{1}{2}(300^\circ) = 150^\circ$.
Ответ: $150^\circ$.

б) Аналогично предыдущей задаче, угол, образованный пересечением двух хорд, измеряется половиной суммы дуг, заключенных между его сторонами и сторонами вертикального ему угла. Хорды $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$. Угол $AMC$ и вертикальный ему угол $DMB$ высекают дуги $\smile AC$ и $\smile DB$. Формула для вычисления угла $AMC$:
$\angle AMC = \frac{1}{2}(\smile AC + \smile DB)$
Подставим данные из условия: $\smile AC = 41^\circ$ и $\smile DB = 29^\circ$.
$\angle AMC = \frac{1}{2}(41^\circ + 29^\circ) = \frac{1}{2}(70^\circ) = 35^\circ$.
Ответ: $35^\circ$.