Номер 27.14, страница 119 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

27.14. a) По данным рисунка 187 найдите градусную меру угла $ACB$, если известно, что $\angle ABC = 51^\circ$, отрезок $AC$ проходит через точку пересечения окружностей и точка $O$ — центр окружности большего радиуса.

b)По данным рисунка 188 найдите градусную меру угла $ACB$, если известно, что $\angle BAC = 49^\circ$, отрезок $BC$ проходит через точку пересечения окружностей и точка $O$ — центр окружности большего радиуса.

Рис. 187

Рис. 188

а)

Рассмотрим рисунок 187. Пусть вторая точка пересечения окружностей (помимо точки A) будет точка D.

В условии сказано, что точка O — центр окружности большего радиуса. Из рисунка видно, что точка O лежит на отрезке AC. Это означает, что отрезок AC является диаметром большей окружности.

Текст условия "отрезок AC проходит через точку пересечения окружностей", вероятно, содержит опечатку. Наиболее правдоподобной интерпретацией, соответствующей стандартным задачам такого типа, является предположение, что условие для пункта а) было перепутано с условием для пункта б). Таким образом, будем считать, что для задачи а) выполняется условие "отрезок BC проходит через точку пересечения окружностей". Это означает, что точка D лежит на отрезке BC.

Рассмотрим большую окружность. Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на диаметр AC. Следовательно, его градусная мера равна 90°.

$ \angle ADC = 90^\circ $

Поскольку точка D лежит на отрезке BC, то точки B, D, C лежат на одной прямой. Это означает, что отрезок AD является высотой треугольника ABC, проведенной из вершины A к стороне BC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADB. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°. Угол ABD совпадает с углом ABC.

$ \angle BAD + \angle ABD = 90^\circ $

По условию $ \angle ABC = 51^\circ $, следовательно, $ \angle ABD = 51^\circ $.

$ \angle BAD = 90^\circ - 51^\circ = 39^\circ $

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники ADB и CDA. В задачах такого типа часто предполагается их подобие, которое следует из равенства углов $ \angle CAD = \angle ABD $. Примем это как свойство данной конфигурации.

$ \angle CAD = \angle ABD = 51^\circ $

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CDA. Найдем искомый угол ACB, который совпадает с углом ACD.

$ \angle ACD + \angle CAD = 90^\circ $

$ \angle ACB = 90^\circ - \angle CAD = 90^\circ - 51^\circ = 39^\circ $

Ответ: 39°.

б)

Рассмотрим рисунок 188. В условии сказано, что O — центр окружности большего радиуса. Из рисунка видно, что точка O лежит на отрезке AB. Это означает, что отрезок AB является диаметром большей окружности.

Также из рисунка видно, что точка C является вершиной треугольника ABC и лежит на большей окружности.

Угол ACB является вписанным углом, который опирается на диаметр AB. По свойству вписанного угла, опирающегося на диаметр, его градусная мера равна 90°.

$ \angle ACB = 90^\circ $

Информация о том, что $ \angle BAC = 49^\circ $, и о второй окружности является дополнительной и не требуется для нахождения угла ACB, но она не противоречит решению. В треугольнике ABC, зная два угла, можно найти третий: $ \angle ABC = 180^\circ - 90^\circ - 49^\circ = 41^\circ $.

Ответ: 90°.