Номер 28.4, страница 120 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

28.4. По данным рисунков 194, а), б) найдите величину искомого угла.

а) $\angle ALK = 44^{\circ}$,

LK — касательная,

$\stackrel{\frown}{BC} = 22^{\circ}$; $\angle BDC — ?$

б) $\angle BCD = 38^{\circ}$,

NK — касательная,

$\stackrel{\frown}{BD} = 28^{\circ}$; $\angle ANK — ?$

Рис. 194

Угол $\angle BDC$ является вписанным углом, который опирается на дугу $BC$. По теореме о вписанном угле, его величина равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

$\angle BDC = \frac{1}{2} \cup BC$

По условию, градусная мера дуги $BC$ равна $22^\circ$. Подставим это значение в формулу:

$\angle BDC = \frac{1}{2} \times 22^\circ = 11^\circ$

Информация о касательной $LK$ и угле $\angle ALK = 44^\circ$ является избыточной для нахождения угла $\angle BDC$.

Ответ: $11^\circ$.

Угол $\angle BCD$, показанный на рисунке, образован двумя секущими $CA$ и $CN$, проведенными из одной точки $C$ к окружности. Величина угла, образованного двумя секущими, пересекающимися вне окружности, равна полуразности величин большей и меньшей высекаемых ими дуг. В данном случае большей дугой является дуга $AN$, а меньшей — дуга $BD$.

$\angle BCD = \frac{1}{2} (\cup AN - \cup BD)$

По условию задачи, $\angle BCD = 38^\circ$ и $\cup BD = 28^\circ$. Подставим эти значения в формулу, чтобы найти величину дуги $AN$:

$38^\circ = \frac{1}{2} (\cup AN - 28^\circ)$

Умножим обе части уравнения на 2:

$76^\circ = \cup AN - 28^\circ$

Отсюда выразим и найдем величину дуги $AN$:

$\cup AN = 76^\circ + 28^\circ = 104^\circ$

Искомый угол $\angle ANK$ образован касательной $NK$ и хордой $AN$. Величина угла между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равна половине величины дуги, заключенной между ними.

$\angle ANK = \frac{1}{2} \cup AN$

Подставим найденное значение дуги $AN$:

$\angle ANK = \frac{1}{2} \times 104^\circ = 52^\circ$

Ответ: $52^\circ$.