Номер 27.13, страница 118 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

27.13. а) Из одной точки окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды длинами 5 см и 12 см. Найдите радиус окружности.

б) Из одной точки окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды, длина одной из хорд — 7 см, диаметр окружности равен 25 см. Найдите длину второй хорды.

а)

Пусть из точки A на окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды AB и AC. Поскольку угол между хордами прямой, то есть $\angle BAC = 90^\circ$, треугольник ABC является прямоугольным и вписанным в эту окружность.

По свойству вписанных углов, прямой угол опирается на диаметр. Следовательно, гипотенуза BC треугольника ABC является диаметром окружности. Катетами этого треугольника являются данные хорды, длины которых по условию равны $AB = 5$ см и $AC = 12$ см.

Для нахождения длины гипотенузы BC (которая равна диаметру окружности $d$) применим теорему Пифагора:

$d^2 = BC^2 = AB^2 + AC^2$

$d^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$

$d = \sqrt{169} = 13$ см.

Радиус окружности $R$ равен половине диаметра:

$R = \frac{d}{2} = \frac{13}{2} = 6,5$ см.

Ответ: 6,5 см.

б)

Аналогично предыдущему пункту, две взаимно перпендикулярные хорды, проведенные из одной точки окружности, являются катетами вписанного в нее прямоугольного треугольника. Гипотенуза этого треугольника совпадает с диаметром окружности.

По условию, длина одной хорды (одного катета) равна $a = 7$ см, а диаметр окружности (гипотенуза) равен $d = 25$ см. Обозначим искомую длину второй хорды (второго катета) как $b$.

По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$a^2 + b^2 = d^2$

Подставим известные значения в формулу:

$7^2 + b^2 = 25^2$

$49 + b^2 = 625$

Теперь найдем $b^2$:

$b^2 = 625 - 49 = 576$

Вычислим длину $b$:

$b = \sqrt{576} = 24$ см.

Следовательно, длина второй хорды равна 24 см.

Ответ: 24 см.