Номер 27.6, страница 116 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

27.6. a) Угол $ABC$, равный $30^{\circ}$, вписан в окружность радиусом 13 см и опирается на дугу $AC$. Найдите площадь треугольника $AOC$, где $O$ — центр окружности.

б) Угол $MNL$, равный $30^{\circ}$, вписан в окружность и опирается на дугу $ML$. Площадь треугольника $MOL$, где $O$ — центр окружности, равна $\frac{121\sqrt{3}}{4}$ см$^2$. Найдите диаметр окружности.

а) Вписанный угол $∠ABC$ и центральный угол $∠AOC$ опираются на одну и ту же дугу $AC$. По свойству углов в окружности, величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.
Следовательно, $∠AOC = 2 \cdot ∠ABC = 2 \cdot 30° = 60°$.
Треугольник $AOC$ образован двумя радиусами $OA$, $OC$ и хордой $AC$. Так как $OA$ и $OC$ являются радиусами одной окружности, то $OA = OC = R = 13$ см. Это означает, что треугольник $AOC$ равнобедренный.
Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.
Для треугольника $AOC$ площадь равна:
$S_{AOC} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OC \cdot \sin(∠AOC)$
Подставляя известные значения, получаем:
$S_{AOC} = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 13 \cdot \sin(60°)$
Зная, что $\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, находим площадь:
$S_{AOC} = \frac{1}{2} \cdot 169 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{169\sqrt{3}}{4} \text{ см}^2$.
Ответ: $S_{AOC} = \frac{169\sqrt{3}}{4} \text{ см}^2$.

б) Аналогично предыдущему пункту, вписанный угол $∠MNL$ и центральный угол $∠MOL$ опираются на одну дугу $ML$. Поэтому центральный угол вдвое больше вписанного:
$∠MOL = 2 \cdot ∠MNL = 2 \cdot 30° = 60°$.
Стороны $OM$ и $OL$ треугольника $MOL$ являются радиусами окружности, обозначим их длину как $R$.
Площадь треугольника $MOL$ задана по условию и также может быть выражена через формулу площади:
$S_{MOL} = \frac{1}{2} \cdot OM \cdot OL \cdot \sin(∠MOL)$
Подставим известные и искомые величины в уравнение:
$\frac{121\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R \cdot \sin(60°)$
$\frac{121\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{2} \cdot R^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{121\sqrt{3}}{4} = \frac{R^2\sqrt{3}}{4}$
Умножим обе части уравнения на $\frac{4}{\sqrt{3}}$, чтобы выразить $R^2$:
$R^2 = 121$
Отсюда находим радиус:
$R = \sqrt{121} = 11$ см (так как радиус — положительная величина).
Диаметр окружности $d$ равен удвоенному радиусу:
$d = 2R = 2 \cdot 11 = 22$ см.
Ответ: $d = 22 \text{ см}$.