Номер 27.11, страница 117 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

27.11. a) По данным рисунка 183 найдите градусную меру угла ACB, если известно, что $\angle ABO = 72^\circ$.

б) По данным рисунка 184 найдите градусную меру угла BAC, если известно, что $\angle BCO = 68^\circ$.

Рис. 183

Рис. 184

а)

Рассмотрим треугольник $AOB$. Точка $O$ является центром окружности, поэтому отрезки $OA$ и $OB$ равны как радиусы. Следовательно, треугольник $AOB$ является равнобедренным с основанием $AB$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит, $\angle OAB = \angle ABO$. По условию дано, что $\angle ABO = 72^{\circ}$, поэтому и $\angle OAB = 72^{\circ}$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^{\circ}$. Найдем величину угла $AOB$:

$\angle AOB = 180^{\circ} - (\angle OAB + \angle ABO) = 180^{\circ} - (72^{\circ} + 72^{\circ}) = 180^{\circ} - 144^{\circ} = 36^{\circ}$.

Угол $AOB$ — это центральный угол, который опирается на дугу $AB$. Угол $ACB$ — это вписанный угол, опирающийся на ту же дугу $AB$.

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Таким образом:

$\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 36^{\circ} = 18^{\circ}$.

Ответ: $18^{\circ}$.

б)

Рассмотрим треугольник $BOC$. Точка $O$ является центром окружности, поэтому отрезки $OB$ и $OC$ равны как радиусы. Следовательно, треугольник $BOC$ является равнобедренным с основанием $BC$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит, $\angle OBC = \angle BCO$. По условию дано, что $\angle BCO = 68^{\circ}$, поэтому и $\angle OBC = 68^{\circ}$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ}$. Найдем величину угла $BOC$:

$\angle BOC = 180^{\circ} - (\angle OBC + \angle BCO) = 180^{\circ} - (68^{\circ} + 68^{\circ}) = 180^{\circ} - 136^{\circ} = 44^{\circ}$.

Угол $BOC$ — это центральный угол, который опирается на дугу $BC$. Угол $BAC$ — это вписанный угол, опирающийся на ту же дугу $BC$.

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Таким образом:

$\angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC = \frac{1}{2} \cdot 44^{\circ} = 22^{\circ}$.

Ответ: $22^{\circ}$.