Номер 27.12, страница 118 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

27.12. a) По данным рисунка 185 найдите градусную меру угла $ABC$, если известно, что $\angle ABF = 30^\circ$, $\angle BOC = 50^\circ$ и $BF$ — касательная к окружности.

б) По данным рисунка 186 найдите градусную меру угла $ACB$, если известно, что $\angle ACO = 50^\circ$, $\angle BOC = 56^\circ$ и $CE$ — касательная к окружности.

Рис. 185

Рис. 186

Искомый угол $∠ABC$ можно представить как сумму двух углов: $∠ABC = ∠ABO + ∠OBC$. Найдем каждый из этих углов.

1. Найдем градусную меру угла $∠ABO$.
Угол $∠ABF$ образован касательной $BF$ и хордой $AB$. По теореме об угле между касательной и хордой, его величина равна половине градусной меры дуги, стягиваемой этой хордой.
Градусная мера дуги $AB = 2 \cdot ∠ABF = 2 \cdot 30° = 60°$.
Центральный угол $∠AOB$ опирается на дугу $AB$, поэтому его мера равна мере дуги $AB$: $∠AOB = 60°$.
Рассмотрим $ΔAOB$. Стороны $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности, значит, $OA = OB$, и $ΔAOB$ — равнобедренный. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: $∠OAB = ∠OBA$ (или $∠ABO$).
Сумма углов треугольника равна $180°$. Таким образом, $∠ABO = (180° - ∠AOB) / 2 = (180° - 60°) / 2 = 120° / 2 = 60°$.

2. Найдем градусную меру угла $∠OBC$.
Рассмотрим $ΔBOC$. Он также является равнобедренным, так как $OB = OC$ (радиусы).
По условию дан центральный угол $∠BOC = 50°$.
Углы при основании $ΔBOC$ равны: $∠OBC = ∠OCB$.
Следовательно, $∠OBC = (180° - ∠BOC) / 2 = (180° - 50°) / 2 = 130° / 2 = 65°$.

3. Найдем угол $∠ABC$.
$∠ABC = ∠ABO + ∠OBC = 60° + 65° = 125°$.

Ответ: $125°$.

Для нахождения угла $∠ACB$ воспользуемся свойством углов, связанных с окружностью.
Согласно рисунку, угол $∠ACB$ можно найти как разность углов $∠ACE$ и $∠BCE$, то есть $∠ACB = ∠ACE - ∠BCE$.

1. Найдем градусную меру угла $∠ACE$.
Угол $∠ACE$ образован касательной $CE$ и хордой $AC$. По теореме об угле между касательной и хордой, его величина равна половине градусной меры дуги $AC$.
Градусная мера дуги $AC$ равна величине центрального угла $∠AOC$, который на нее опирается.
Рассмотрим $ΔAOC$. Он равнобедренный, так как $OA = OC$ (радиусы). По условию $∠ACO = 50°$, значит, и угол при основании $∠OAC = 50°$.
Тогда центральный угол $∠AOC = 180° - (∠ACO + ∠OAC) = 180° - (50° + 50°) = 80°$.
Следовательно, градусная мера дуги $AC$ равна $80°$.
Теперь найдем $∠ACE$: $∠ACE = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } AC = \frac{1}{2} \cdot 80° = 40°$.

2. Найдем градусную меру угла $∠BCE$.
Угол $∠BCE$ образован касательной $CE$ и хордой $BC$. Его величина равна половине градусной меры дуги $BC$.
Градусная мера дуги $BC$ равна величине центрального угла $∠BOC$. По условию $∠BOC = 56°$.
Следовательно, дуга $BC = 56°$.
Тогда $∠BCE = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } BC = \frac{1}{2} \cdot 56° = 28°$.

3. Найдем искомый угол $∠ACB$.
$∠ACB = ∠ACE - ∠BCE = 40° - 28° = 12°$.

Ответ: $12°$.