Номер 28.5, страница 121 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

28.5. a) Вершины треугольника $ABC$ лежат на окружности с центром $O$. В точке $C$ проведена касательная к окружности, пересекающаяся с прямой $AB$ в точке $D$. Найдите величину угла $ADC$, если $\angle ACB = 80^\circ$, $\angle ABC = 70^\circ$.

б) Вершины треугольника $MNL$ лежат на окружности с центром $O$. В точке $L$ проведена касательная к окружности, пересекающаяся с прямой $MN$ в точке $K$. Найдите величину угла $MKL$, если $\angle MON = 140^\circ$, $\angle LON = 160^\circ$.

а)

1. Найдем угол $\angle BAC$ в треугольнике $ABC$. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому:
$\angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB = 180^\circ - 70^\circ - 80^\circ = 30^\circ$.

2. Точка $D$ лежит на прямой $AB$, но вне отрезка $AB$, так как является точкой пересечения секущей и касательной. Возможны два случая расположения точек: $D-A-B$ или $A-B-D$. Рассмотрим оба случая.

3. Используем теорему об угле между касательной и хордой. Угол между касательной $DC$ и хордой $BC$ равен вписанному углу, опирающемуся на дугу $BC$, то есть $\angle BAC$.
$\angle BCD = \angle BAC = 30^\circ$.

4. Случай 1: Порядок точек $A-B-D$.
Рассмотрим треугольник $BDC$.

• Угол $\angle CBD$ является внешним углом для треугольника $ABC$ при вершине $B$, поэтому он смежен с углом $\angle ABC$.
  $\angle CBD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.
• Угол $\angle BCD = 30^\circ$ (из п. 3).
• Найдем третий угол треугольника, $\angle BDC$ (он же $\angle ADC$):
  $\angle ADC = 180^\circ - \angle CBD - \angle BCD = 180^\circ - 110^\circ - 30^\circ = 40^\circ$.

Проверим этот случай на непротиворечивость. Рассмотрим углы при вершине $C$. Угол $\angle ACB = 80^\circ$ и угол $\angle BCD = 30^\circ$. Так как точка $B$ лежит между $A$ и $D$, луч $CB$ лежит между лучами $CA$ и $CD$. Следовательно, должно выполняться равенство $\angle ACD = \angle ACB + \angle BCD$.
$\angle ACD = 80^\circ + 30^\circ = 110^\circ$.
Теперь проверим это значение с помощью теоремы об угле между касательной и хордой для хорды $AC$. Угол между касательной $DC$ и хордой $AC$ ($\angle ACD$) должен быть равен вписанному углу $\angle ABC = 70^\circ$ или быть его дополнением до $180^\circ$. Так как $110^\circ + 70^\circ = 180^\circ$, это условие выполняется. Данный случай является непротиворечивым.

5. Случай 2: Порядок точек $D-A-B$.
Рассмотрим треугольник $BDC$.

• Угол $\angle CBD$ совпадает с углом $\angle ABC$, так как $A$ лежит между $D$ и $B$.
  $\angle CBD = \angle ABC = 70^\circ$.
• Угол $\angle BCD = 30^\circ$ (из п. 3).
• Найдем угол $\angle BDC$:
  $\angle ADC = 180^\circ - \angle CBD - \angle BCD = 180^\circ - 70^\circ - 30^\circ = 80^\circ$.

Проверим этот случай на непротиворечивость. Так как точка $A$ лежит между $D$ и $B$, луч $CA$ лежит между лучами $CD$ и $CB$. Следовательно, должно выполняться равенство $\angle BCD + \angle BCA = \angle DCA$.
$30^\circ + 80^\circ = \angle DCA \Rightarrow \angle DCA = 110^\circ$.
Однако по теореме об угле между касательной $DC$ и хордой $AC$, угол $\angle DCA$ должен быть равен $\angle ABC = 70^\circ$ (или $180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$). Поскольку луч $CA$ лежит между лучами $CD$ и $CB$, угол $\angle DCA$ должен быть острым, если $\angle ABC$ острый. Таким образом, $\angle DCA$ должен быть $70^\circ$. Получаем противоречие: $110^\circ \neq 70^\circ$. Этот случай невозможен.

Единственный возможный случай дает результат $40^\circ$.

Ответ: $40^\circ$

б)

1. Найдем центральный угол $\angle MOL$. Сумма центральных углов в окружности равна $360^\circ$.
$\angle MOL = 360^\circ - \angle MON - \angle LON = 360^\circ - 140^\circ - 160^\circ = 60^\circ$.

2. Найдем вписанные углы треугольника $MNL$. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

• $\angle LMN$ опирается на дугу $LN$, которой соответствует центральный угол $\angle LON = 160^\circ$.
  $\angle LMN = \frac{1}{2} \angle LON = \frac{1}{2} \cdot 160^\circ = 80^\circ$.
• $\angle LNM$ опирается на дугу $LM$, которой соответствует центральный угол $\angle MOL = 60^\circ$.
  $\angle LNM = \frac{1}{2} \angle MOL = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$.

3. Точка $K$ лежит на прямой $MN$. Рассмотрим треугольник $LMK$. Мы ищем угол $\angle MKL$.
По теореме о внешнем угле треугольника, внешний угол при вершине $M$ треугольника $LMK$ ($\angle LMN$) равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
$\angle LMN = \angle MKL + \angle KLM$.
Это соотношение справедливо, если точка $M$ лежит между $K$ и $N$.

4. Найдем угол $\angle KLM$ по теореме об угле между касательной и хордой. Угол между касательной $KL$ и хордой $LM$ равен вписанному углу, опирающемуся на дугу $LM$, то есть $\angle LNM$.
$\angle KLM = \angle LNM = 30^\circ$.

5. Подставим известные значения в формулу из п. 3:
$80^\circ = \angle MKL + 30^\circ$.
Отсюда находим $\angle MKL$:
$\angle MKL = 80^\circ - 30^\circ = 50^\circ$.

(Проверка: другой возможный порядок точек $M-N-K$ приводит к противоречию, так как сумма двух углов в треугольнике $LNK$ будет $\angle KNL + \angle KLN = (180^\circ - 30^\circ) + 80^\circ = 150^\circ + 80^\circ = 230^\circ > 180^\circ$, что невозможно).

Ответ: $50^\circ$