Номер 29.4, страница 122 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

29.4. По данным рисунков 199, а), б) найдите значение x.

a) $12^2 = 8(8+x)$

б) $14^2 = x(x+21)$

Рис. 199

а) Для решения этой задачи используется теорема о касательной и секущей, проведенных к окружности из одной точки. Теорема утверждает, что квадрат длины отрезка касательной от внешней точки до точки касания равен произведению длины внешнего отрезка секущей на длину всей секущей.

На рисунке а) имеем:

• Длина отрезка касательной: $12$
• Длина внешнего отрезка секущей: $8$
• Длина внутреннего отрезка секущей (хорды): $x$
• Длина всей секущей: $8 + x$

Составим уравнение согласно теореме:

$12^2 = 8 \cdot (8 + x)$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$144 = 64 + 8x$

$8x = 144 - 64$

$8x = 80$

$x = \frac{80}{8}$

$x = 10$

Ответ: 10

б) Аналогично, применим теорему о касательной и секущей.

На рисунке б) имеем:

• Длина отрезка касательной: $14$
• Длина внешнего отрезка секущей: $x$
• Длина внутреннего отрезка секущей (хорды): $21$
• Длина всей секущей: $x + 21$

Составим уравнение согласно теореме:

$14^2 = x \cdot (x + 21)$

Решим полученное уравнение:

$196 = x^2 + 21x$

Это квадратное уравнение. Приведем его к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 21x - 196 = 0$

Найдем корни уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 21^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-196) = 441 + 784 = 1225$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$.

Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-21 + 35}{2 \cdot 1} = \frac{14}{2} = 7$

$x_2 = \frac{-21 - 35}{2 \cdot 1} = \frac{-56}{2} = -28$

Поскольку длина отрезка $x$ не может быть отрицательной, мы выбираем положительный корень.

Ответ: 7