Номер 29.7, страница 123 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

29.7. а) Из точки $B$ к окружности проведены касательная $BD$ и секущая $BF$ (рис. 202). Из точки касания $D$ проведена хорда $CD$, пересекающая хорду $FE$ в точке $P$. Отрезок $FP$ на $2$ см больше отрезка $PE$, $EB = 8$ см, $CP = 2$ см, $PD = 12$ см. Найдите длину отрезка касательной $BD$.

б) Из точки $A$ к окружности проведены касательная $AC$ и секущая $AE$ (рис. 203). Из точки касания $C$ проведена хорда $CF$, пересекающая хорду $ED$ в точке $P$. Отрезок $EP$ на $3$ см меньше отрезка $PD$, $CP = 9$ см, $PF = 2$ см. Найдите длину отрезка $AD$, если длина отрезка касательной $AC$ равна $20$ см.

Рис. 202

Рис. 203

а)

Рассмотрим хорды CD и FE, которые пересекаются в точке P внутри окружности. Согласно теореме о пересекающихся хордах, произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды:

$CP \cdot PD = FP \cdot PE$

Из условия задачи нам известны следующие длины:

$CP = 2$ см;

$PD = 12$ см;

Отрезок FP на 2 см больше отрезка PE, что можно записать как $FP = PE + 2$.

Подставим эти значения в уравнение:

$2 \cdot 12 = (PE + 2) \cdot PE$

$24 = PE^2 + 2 \cdot PE$

Мы получили квадратное уравнение относительно PE:

$PE^2 + 2 \cdot PE - 24 = 0$

Решим это уравнение, например, с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100 = 10^2$

Найдем корни уравнения:

$PE = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 10}{2}$

Поскольку длина отрезка является положительной величиной, выбираем корень $PE = \frac{-2 + 10}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Теперь можем найти длину отрезка FP:

$FP = PE + 2 = 4 + 2 = 6$ см.

Длина всей хорды FE равна сумме длин ее частей:

$FE = FP + PE = 6 + 4 = 10$ см.

Далее применим теорему о касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности. Квадрат длины отрезка касательной равен произведению всей секущей на ее внешнюю часть:

$BD^2 = BF \cdot BE$

Длина всей секущей BF складывается из длин отрезков BE и EF:

$BF = BE + EF = 8 + 10 = 18$ см (по условию $BE = 8$ см).

Подставим значения в формулу для касательной и секущей:

$BD^2 = 18 \cdot 8 = 144$

Отсюда находим длину касательной BD:

$BD = \sqrt{144} = 12$ см.

Ответ: 12 см.

б)

Рассмотрим хорды CF и ED, пересекающиеся в точке P. По теореме о пересекающихся хордах имеем:

$CP \cdot PF = EP \cdot PD$

Из условия задачи нам дано:

$CP = 9$ см;

$PF = 2$ см;

Отрезок EP на 3 см меньше отрезка PD, то есть $EP = PD - 3$.

Подставим известные значения в формулу:

$9 \cdot 2 = (PD - 3) \cdot PD$

$18 = PD^2 - 3 \cdot PD$

Сформируем и решим квадратное уравнение относительно PD:

$PD^2 - 3 \cdot PD - 18 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81 = 9^2$

Найдем корни уравнения:

$PD = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 9}{2}$

Так как длина отрезка не может быть отрицательной, выбираем положительный корень $PD = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Найдем длину отрезка EP:

$EP = PD - 3 = 6 - 3 = 3$ см.

Длина всей хорды ED равна:

$ED = EP + PD = 3 + 6 = 9$ см.

Теперь рассмотрим касательную AC и секущую AE, проведенные из точки A. По теореме о касательной и секущей:

$AC^2 = AD \cdot AE$

По условию, длина касательной $AC = 20$ см. Длину всей секущей AE можно выразить через AD: $AE = AD + ED = AD + 9$.

Подставим эти выражения в теорему:

$20^2 = AD \cdot (AD + 9)$

$400 = AD^2 + 9 \cdot AD$

Получаем еще одно квадратное уравнение, на этот раз относительно AD:

$AD^2 + 9 \cdot AD - 400 = 0$

Решим его. Дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-400) = 81 + 1600 = 1681 = 41^2$

Найдем корни:

$AD = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 \pm 41}{2}$

Выбираем положительное значение для длины отрезка:

$AD = \frac{-9 + 41}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.

Ответ: 16 см.