Номер 29.5, страница 122 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

29.5. По данным рисунков 200, а), б) найдите значение $m$.

а)$7(7+m) = 6(6+8)$

б)$m^2 = 4(4+10)$

Рис. 200

а)

Для решения задачи используется теорема о двух секущих, проведенных из одной точки к окружности. Согласно этой теореме, произведение длины всей секущей на ее внешнюю часть для одной секущей равно произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть для другой секущей.

Для рисунка а) мы имеем две секущие, выходящие из одной точки.

Длина первой секущей равна $m + 7$, а ее внешняя часть равна $7$.

Длина второй секущей равна $8 + 6 = 14$, а ее внешняя часть равна $6$.

Составим и решим уравнение на основе теоремы:

$7 \cdot (m + 7) = 6 \cdot (8 + 6)$

$7 \cdot (m + 7) = 6 \cdot 14$

$49 + 7m = 84$

$7m = 84 - 49$

$7m = 35$

$m = \frac{35}{7}$

$m = 5$

Ответ: 5.

б)

Аналогично применяем теорему о двух секущих для данных на рисунке б).

Длина первой секущей равна $10 + 4 = 14$, а ее внешняя часть равна $4$.

Длина второй секущей равна $1 + m$, а ее внешняя часть равна $m$.

Составим и решим уравнение:

$m \cdot (1 + m) = 4 \cdot (10 + 4)$

$m(1 + m) = 4 \cdot 14$

$m + m^2 = 56$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$m^2 + m - 56 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней должна быть равна $-1$, а их произведение $-56$. Подходящие числа — это $7$ и $-8$.

Корни уравнения: $m_1 = 7$ и $m_2 = -8$.

Так как $m$ обозначает длину отрезка, его значение не может быть отрицательным. Следовательно, мы выбираем положительный корень.

$m = 7$

Ответ: 7.