Номер 29.6, страница 122 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

29.6. По данным рисунков 201, а), б) найдите значение суммы $x + y$.

a)Для нахождения $y$ используем свойство пересекающихся хорд:

$12 \cdot y = 9 \cdot 4$

Для нахождения $x$ используем свойство касательной и секущей:

$4^2 = x \cdot (x+12)$

б)Для нахождения $y$ используем свойство пересекающихся хорд:

$2 \cdot y = 4 \cdot 16$

Для нахождения $x$ используем свойство касательной и секущей:

$8^2 = x \cdot (x+4)$

Рис. 201

а)

В данной задаче мы используем две теоремы о свойствах хорд и секущих окружности.

1. Теорема о пересекающихся хордах. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. На рисунке а) мы видим две пересекающиеся хорды. Одна разделена на отрезки длиной 12 и $y$. Другая — на отрезки длиной 9 и 4. Согласно теореме, мы можем записать равенство: $12 \cdot y = 9 \cdot 4$ $12y = 36$ $y = \frac{36}{12} = 3$

2. Теорема о касательной и секущей. Квадрат длины отрезка касательной от внешней точки до точки касания равен произведению длины внешнего отрезка секущей на длину всей секущей. На рисунке а) из одной внешней точки проведены касательная и секущая. Длина отрезка касательной равна 4. Секущая состоит из внешнего отрезка длиной $x$ и внутреннего отрезка (хорды), длина которой равна $12 + y$. Длина всей секущей равна $x + (12 + y)$. Подставим известное значение $y=3$: длина всей секущей равна $x + 12 + 3 = x + 15$. Согласно теореме: $4^2 = x \cdot (x + 15)$ $16 = x^2 + 15x$ Перенесем все в одну часть, чтобы получить квадратное уравнение: $x^2 + 15x - 16 = 0$ Это уравнение можно решить по теореме Виета или через дискриминант. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -16$. Так как длина отрезка не может быть отрицательной, мы выбираем $x = 1$.

3. Найдем сумму $x + y$: $x + y = 1 + 3 = 4$

Ответ: 4

б)

Для решения этой задачи мы также используем теоремы о пересекающихся хордах и о касательной и секущей.

1. Теорема о пересекающихся хордах. На рисунке б) изображены две пересекающиеся хорды. Одна разделена на отрезки длиной 4 и 16. Другая — на отрезки длиной $x$ и $y$. По теореме о пересекающихся хордах: $x \cdot y = 4 \cdot 16$ $xy = 64$

2. Теорема о касательной и секущей. На рисунке также показаны касательная и секущая, проведенные из одной внешней точки. Длина отрезка касательной равна 8. Секущая является продолжением хорды, состоящей из отрезков $x$ и $y$. Внешняя часть этой секущей имеет длину 2. Длина всей секущей, таким образом, равна $2 + x + y$. По теореме о касательной и секущей: $8^2 = 2 \cdot (2 + x + y)$ $64 = 2 \cdot (2 + x + y)$ Разделим обе части уравнения на 2: $32 = 2 + x + y$ Теперь выразим сумму $x+y$: $x + y = 32 - 2$ $x + y = 30$

Задача просит найти значение суммы $x + y$, которое мы уже нашли. Нам не требуется находить значения $x$ и $y$ по отдельности.

Ответ: 30