Номер 1.3, страница 125 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

1.3. a) Стороны треугольника равны $4\sqrt{3}$ см, $2\sqrt{5}$ см и $2\sqrt{7}$ см.

Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс наименьшего угла треугольника.

б) Стороны треугольника относятся как $1 : \sqrt{5} : \sqrt{6}$. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс наименьшего угла треугольника.

а)

Даны стороны треугольника: $a = 4\sqrt{3}$ см, $b = 2\sqrt{5}$ см и $c = 2\sqrt{7}$ см.

Наименьший угол в треугольнике лежит напротив наименьшей стороны. Чтобы определить наименьшую сторону, сравним квадраты их длин:

$a^2 = (4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$

$b^2 = (2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$

$c^2 = (2\sqrt{7})^2 = 4 \cdot 7 = 28$

Сравнивая полученные значения, видим, что $20 < 28 < 48$, значит $b^2 < c^2 < a^2$, и, следовательно, $b < c < a$. Таким образом, наименьшая сторона - это $b = 2\sqrt{5}$ см.

Пусть $\beta$ - наименьший угол, противолежащий стороне $b$. Для нахождения его косинуса воспользуемся теоремой косинусов:

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(\beta)$

Выразим отсюда косинус угла $\beta$:

$\cos(\beta) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$

Подставим известные значения:

$\cos(\beta) = \frac{48 + 28 - 20}{2 \cdot (4\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{7})} = \frac{56}{16\sqrt{21}} = \frac{7}{2\sqrt{21}}$

Упростим выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе:

$\cos(\beta) = \frac{7 \cdot \sqrt{21}}{2\sqrt{21} \cdot \sqrt{21}} = \frac{7\sqrt{21}}{2 \cdot 21} = \frac{7\sqrt{21}}{42} = \frac{\sqrt{21}}{6}$

Теперь найдем синус угла $\beta$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\beta) + \cos^2(\beta) = 1$. Поскольку $\beta$ - это угол в треугольнике, его синус положителен ($\sin(\beta) > 0$).

$\sin(\beta) = \sqrt{1 - \cos^2(\beta)} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{21}}{6}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{21}{36}} = \sqrt{\frac{36-21}{36}} = \sqrt{\frac{15}{36}} = \frac{\sqrt{15}}{6}$

Далее найдем тангенс и котангенс:

$\tan(\beta) = \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} = \frac{\frac{\sqrt{15}}{6}}{\frac{\sqrt{21}}{6}} = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{21}} = \sqrt{\frac{15}{21}} = \sqrt{\frac{5}{7}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{35}}{7}$

$\cot(\beta) = \frac{1}{\tan(\beta)} = \frac{\cos(\beta)}{\sin(\beta)} = \frac{\frac{\sqrt{21}}{6}}{\frac{\sqrt{15}}{6}} = \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{15}} = \sqrt{\frac{21}{15}} = \sqrt{\frac{7}{5}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{35}}{5}$

Ответ: синус равен $\frac{\sqrt{15}}{6}$, косинус равен $\frac{\sqrt{21}}{6}$, тангенс равен $\frac{\sqrt{35}}{7}$, котангенс равен $\frac{\sqrt{35}}{5}$.

б)

Стороны треугольника $a, b, c$ относятся как $1 : \sqrt{5} : \sqrt{6}$. Обозначим их длины как $a = k$, $b = k\sqrt{5}$ и $c = k\sqrt{6}$, где $k$ - положительный коэффициент пропорциональности.

Наименьший угол треугольника находится напротив наименьшей стороны. Сравнивая отношения $1$, $\sqrt{5}$ и $\sqrt{6}$, видим, что $1 < \sqrt{5} < \sqrt{6}$. Значит, наименьшая сторона - это $a=k$.

Пусть $\alpha$ - наименьший угол, противолежащий стороне $a$. По теореме косинусов:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\alpha)$

Выразим косинус угла $\alpha$:

$\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

Подставим выражения для сторон (коэффициент $k$ в итоге сократится):

$\cos(\alpha) = \frac{(k\sqrt{5})^2 + (k\sqrt{6})^2 - k^2}{2(k\sqrt{5})(k\sqrt{6})} = \frac{5k^2 + 6k^2 - k^2}{2k^2\sqrt{30}} = \frac{10k^2}{2k^2\sqrt{30}} = \frac{5}{\sqrt{30}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\cos(\alpha) = \frac{5\sqrt{30}}{\sqrt{30}\cdot\sqrt{30}} = \frac{5\sqrt{30}}{30} = \frac{\sqrt{30}}{6}$

Теперь найдем синус угла $\alpha$ из тождества $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$. Так как $\alpha$ - угол треугольника, $\sin(\alpha) > 0$.

$\sin(\alpha) = \sqrt{1 - \cos^2(\alpha)} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{30}}{6}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{30}{36}} = \sqrt{\frac{36-30}{36}} = \sqrt{\frac{6}{36}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$

Осталось найти тангенс и котангенс:

$\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{6}}{\frac{\sqrt{30}}{6}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{30}} = \sqrt{\frac{6}{30}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)} = \frac{1}{1/\sqrt{5}} = \sqrt{5}$

Ответ: синус равен $\frac{\sqrt{6}}{6}$, косинус равен $\frac{\sqrt{30}}{6}$, тангенс равен $\frac{\sqrt{5}}{5}$, котангенс равен $\sqrt{5}$.