Номер 2.3, страница 126 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

2.3. a) Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен $2/9$. Найдите площадь треугольника, если его гипотенуза равна $2\sqrt{85}$ см.

б) Котангенс острого угла прямоугольного треугольника равен $2/3$. Найдите гипотенузу треугольника, если его площадь равна $39 \text{ см}^2$.

а)

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$. Тангенс острого угла (например, угла $A$, противолежащего катету $a$) — это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

По условию, $\tan(A) = \frac{a}{b} = \frac{2}{9}$. Это означает, что отношение длин катетов равно $2:9$. Мы можем выразить длины катетов через некоторый коэффициент пропорциональности $k$: $a = 2k$ $b = 9k$

Гипотенуза $c$ по условию равна $2\sqrt{85}$ см. Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$. Подставим наши выражения для $a$, $b$ и значение $c$: $(2k)^2 + (9k)^2 = (2\sqrt{85})^2$ $4k^2 + 81k^2 = 4 \cdot 85$ $85k^2 = 340$ $k^2 = \frac{340}{85}$ $k^2 = 4$ Поскольку $k$ представляет собой коэффициент для длины, он должен быть положительным, поэтому $k = 2$.

Теперь мы можем найти длины катетов: $a = 2k = 2 \cdot 2 = 4$ см. $b = 9k = 9 \cdot 2 = 18$ см.

Площадь $S$ прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2}ab$ $S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 18 = 2 \cdot 18 = 36$ см$^2$.

Ответ: $36$ см$^2$.

б)

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$. Котангенс острого угла (например, угла $A$, противолежащего катету $a$) — это отношение прилежащего катета к противолежащему катету.

По условию, $\cot(A) = \frac{b}{a} = \frac{2}{3}$. Выразим длины катетов через коэффициент пропорциональности $k$: $b = 2k$ $a = 3k$

Площадь треугольника $S$ по условию равна $39$ см$^2$. Используем формулу площади для прямоугольного треугольника: $S = \frac{1}{2}ab$. Подставим наши выражения для $a$ и $b$: $39 = \frac{1}{2}(3k)(2k)$ $39 = \frac{1}{2} \cdot 6k^2$ $39 = 3k^2$ $k^2 = \frac{39}{3}$ $k^2 = 13$ $k = \sqrt{13}$.

Найдем длины катетов: $a = 3k = 3\sqrt{13}$ см. $b = 2k = 2\sqrt{13}$ см.

Теперь найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$. $c^2 = (3\sqrt{13})^2 + (2\sqrt{13})^2$ $c^2 = (9 \cdot 13) + (4 \cdot 13)$ $c^2 = 117 + 52$ $c^2 = 169$ $c = \sqrt{169} = 13$ см.

Ответ: $13$ см.