Номер 2.9, страница 128 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

2.9. Внутри равностороннего треугольника $ABC$ взята произвольная точка $T$, из которой опущены перпендикуляры $TH, TE, TK$ на стороны $AB, BC$ и $AC$ соответственно. Докажите, что $AH + BE + CK = BH + CE + AK$.

Доказательство

Рассмотрим отрезки, соединяющие точку $T$ с вершинами треугольника: $TA$, $TB$, $TC$. По условию, из точки $T$ опущены перпендикуляры $TH$, $TE$, $TK$ на стороны $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. Это означает, что у нас есть несколько прямоугольных треугольников: $ΔATH$, $ΔBTH$, $ΔBTE$, $ΔCTE$, $ΔCTK$ и $ΔATK$.

Применим теорему Пифагора для этих треугольников, сгруппировав их по общей гипотенузе:

1. Для треугольников $ΔATH$ и $ΔATK$ (общая гипотенуза $AT$):
$AT^2 = AH^2 + TH^2$
$AT^2 = AK^2 + TK^2$
Следовательно, $AH^2 + TH^2 = AK^2 + TK^2$.

2. Для треугольников $ΔBTH$ и $ΔBTE$ (общая гипотенуза $BT$):
$BT^2 = BH^2 + TH^2$
$BT^2 = BE^2 + TE^2$
Следовательно, $BH^2 + TH^2 = BE^2 + TE^2$.

3. Для треугольников $ΔCTE$ и $ΔCTK$ (общая гипотенуза $CT$):
$CT^2 = CE^2 + TE^2$
$CT^2 = CK^2 + TK^2$
Следовательно, $CE^2 + TE^2 = CK^2 + TK^2$.

Теперь преобразуем полученные равенства, чтобы выделить разности квадратов отрезков на сторонах треугольника:

Из пункта 1: $AH^2 - AK^2 = TK^2 - TH^2$ (уравнение I)
Из пункта 2: $BH^2 - BE^2 = TE^2 - TH^2$ (уравнение II)
Из пункта 3: $CE^2 - CK^2 = TK^2 - TE^2$ (уравнение III)

Сложим левые и правые части уравнений (I), (II) и (III):
$(AH^2 - AK^2) + (BH^2 - BE^2) + (CE^2 - CK^2) = (TK^2 - TH^2) + (TE^2 - TH^2) + (TK^2 - TE^2)$
Сгруппируем члены в правой части:
$(AH^2 - AK^2) + (BH^2 - BE^2) + (CE^2 - CK^2) = (TK^2 - TK^2) + (TE^2 - TE^2) + (-TH^2 - TH^2 + ...)$
Произошла ошибка в сложении. Давайте используем более простой подход, который приводит к теореме Карно.

Рассмотрим разности квадратов гипотенуз:
$AT^2 - BT^2 = (AH^2 + TH^2) - (BH^2 + TH^2) = AH^2 - BH^2$
$BT^2 - CT^2 = (BE^2 + TE^2) - (CE^2 + TE^2) = BE^2 - CE^2$
$CT^2 - AT^2 = (CK^2 + TK^2) - (AK^2 + TK^2) = CK^2 - AK^2$

Сложим эти три равенства:
$(AT^2 - BT^2) + (BT^2 - CT^2) + (CT^2 - AT^2) = (AH^2 - BH^2) + (BE^2 - CE^2) + (CK^2 - AK^2)$
Левая часть равна нулю: $AT^2 - AT^2 + BT^2 - BT^2 + CT^2 - CT^2 = 0$.
Следовательно, правая часть также равна нулю:
$AH^2 - BH^2 + BE^2 - CE^2 + CK^2 - AK^2 = 0$
Это соотношение (теорема Карно) верно для любого треугольника.

Теперь используем то, что треугольник $ABC$ — равносторонний. Пусть длина его стороны равна $a$. Тогда $AB = BC = AC = a$.
Так как точки $H$, $E$, $K$ лежат на сторонах треугольника, то:
$AH + BH = a$
$BE + CE = a$
$AK + CK = a$

Воспользуемся формулой разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ для нашего выражения:
$(AH - BH)(AH + BH) + (BE - CE)(BE + CE) + (CK - AK)(CK + AK) = 0$
Подставим значения сумм, равные стороне $a$:
$(AH - BH)a + (BE - CE)a + (CK - AK)a = 0$
Так как $a \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $a$:
$(AH - BH) + (BE - CE) + (CK - AK) = 0$
Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:
$AH - BH + BE - CE + CK - AK = 0$
Перенесем все члены со знаком "минус" в правую часть:
$AH + BE + CK = BH + CE + AK$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AH + BE + CK = BH + CE + AK$ доказано.