Номер 2.6, страница 127 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

2.6. a) В треугольнике $ABC$ $\angle C = 90^\circ$, $tg \angle A = 1$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если его периметр равен $(12 + 6\sqrt{2})$ см.

б) В треугольнике $MKC$ $\angle K = 90^\circ$, $ctg \angle C = 1$. Найдите периметр треугольника $MKC$, если его площадь равна $25 \text{ см}^2$.

а)

Дано: треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$, $tg \angle A = 1$ и периметр $P = (12 + 6\sqrt{2})$ см.

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему. Для угла $A$ в треугольнике $ABC$: $tg \angle A = \frac{BC}{AC}$.

Поскольку $tg \angle A = 1$, то $\frac{BC}{AC} = 1$, из чего следует, что $BC = AC$. Это значит, что треугольник $ABC$ является равнобедренным прямоугольным треугольником.

Пусть длина катетов $AC$ и $BC$ равна $x$. Тогда $AC = BC = x$.

По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы $AB$:
$AB^2 = AC^2 + BC^2 = x^2 + x^2 = 2x^2$
$AB = \sqrt{2x^2} = x\sqrt{2}$.

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон:
$P = AC + BC + AB = x + x + x\sqrt{2} = 2x + x\sqrt{2} = x(2 + \sqrt{2})$.

Из условия задачи мы знаем, что $P = 12 + 6\sqrt{2}$. Приравняем выражения для периметра, чтобы найти $x$:
$x(2 + \sqrt{2}) = 12 + 6\sqrt{2}$
Вынесем общий множитель 6 в правой части:
$x(2 + \sqrt{2}) = 6(2 + \sqrt{2})$
Разделив обе части на $(2 + \sqrt{2})$, получаем:
$x = 6$ см.

Таким образом, катеты треугольника равны 6 см.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = \frac{36}{2} = 18$ см².

Ответ: 18 см².

б)

Дано: треугольник $MKC$, в котором $\angle K = 90^\circ$, $ctg \angle C = 1$ и площадь $S = 25$ см².

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к противолежащему. Для угла $C$ в треугольнике $MKC$:
$ctg \angle C = \frac{KC}{MK}$.

Поскольку $ctg \angle C = 1$, то $\frac{KC}{MK} = 1$, из чего следует, что $KC = MK$. Это значит, что треугольник $MKC$ является равнобедренным прямоугольным треугольником.

Пусть длина катетов $MK$ и $KC$ равна $y$. Тогда $MK = KC = y$.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot KC = \frac{1}{2} \cdot y \cdot y = \frac{y^2}{2}$.

Из условия задачи мы знаем, что $S = 25$ см². Найдем $y$:
$\frac{y^2}{2} = 25$
$y^2 = 50$
$y = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ см.

Таким образом, катеты треугольника $MK$ и $KC$ равны $5\sqrt{2}$ см.

По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы $MC$:
$MC^2 = MK^2 + KC^2 = (5\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2 = 50 + 50 = 100$
$MC = \sqrt{100} = 10$ см.

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон:
$P = MK + KC + MC = 5\sqrt{2} + 5\sqrt{2} + 10 = 10\sqrt{2} + 10$ см.

Ответ: $(10 + 10\sqrt{2})$ см.