Номер 2.4, страница 127 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

2.4. a) Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен $\frac{4}{3}$, гипотенуза равна 10 см. Найдите медиану треугольника, проведенную из вершины меньшего острого угла.

б) Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен $\frac{12}{13}$, гипотенуза равна 26 см. Найдите медиану треугольника, проведенную из вершины большего острого угла.

а)

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Пусть катеты $AC = b$, $BC = a$, а гипотенуза $AB = c = 10$ см.
Пусть тангенс одного из острых углов, например, угла $A$, равен $4/3$.
$\tan A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{a}{b} = \frac{4}{3}$.
Тангенс другого острого угла $B$ будет равен:
$\tan B = \frac{b}{a} = \frac{3}{4}$.
Поскольку для острых углов функция тангенса возрастает, и $\tan A > \tan B$ ($4/3 > 3/4$), то угол $A >$ угол $B$. Следовательно, меньший острый угол — это угол $B$. Нам нужно найти медиану, проведенную из вершины этого угла, то есть медиану $m_b$.
Из соотношения $\frac{a}{b} = \frac{4}{3}$ можно выразить катеты через некоторый коэффициент пропорциональности $x$: $a = 4x$, $b = 3x$.
По теореме Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:
$(4x)^2 + (3x)^2 = 10^2$
$16x^2 + 9x^2 = 100$
$25x^2 = 100$
$x^2 = 4$
$x = 2$ см.
Тогда длины катетов равны:
$a = BC = 4x = 4 \cdot 2 = 8$ см.
$b = AC = 3x = 3 \cdot 2 = 6$ см.
Медиана $m_b$ проведена из вершины $B$ к середине стороны $AC$. Обозначим середину стороны $AC$ как точку $M$. Тогда $AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCM$ (угол $C$ прямой). Его катеты $BC = 8$ см и $CM = 3$ см. Медиана $m_b$ (отрезок $BM$) является гипотенузой этого треугольника.
По теореме Пифагора для треугольника $BCM$:
$m_b^2 = BC^2 + CM^2$
$m_b^2 = 8^2 + 3^2 = 64 + 9 = 73$
$m_b = \sqrt{73}$ см.
Ответ: $\sqrt{73}$ см.

б)

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Катеты $AC = b$, $BC = a$, гипотенуза $AB = c = 26$ см.
Пусть косинус одного из острых углов, например, угла $A$, равен $12/13$.
$\cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c} = \frac{12}{13}$.
Найдем длину катета $b$:
$\frac{b}{26} = \frac{12}{13}$
$b = \frac{12 \cdot 26}{13} = 12 \cdot 2 = 24$ см.
Итак, $AC = 24$ см.
По теореме Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$, найдем катет $a$:
$a^2 + 24^2 = 26^2$
$a^2 = 26^2 - 24^2 = (26 - 24)(26 + 24) = 2 \cdot 50 = 100$
$a = \sqrt{100} = 10$ см.
Итак, $BC = 10$ см.
Теперь определим, какой из острых углов больше. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
Катет $AC = 24$ см, напротив него лежит угол $B$.
Катет $BC = 10$ см, напротив него лежит угол $A$.
Поскольку $AC > BC$ ($24 > 10$), то угол $B >$ угол $A$.
Следовательно, больший острый угол — это угол $B$. Нам нужно найти медиану, проведенную из вершины этого угла, то есть медиану $m_b$.
Медиана $m_b$ проведена из вершины $B$ к середине стороны $AC$. Обозначим середину стороны $AC$ как точку $M$. Тогда $AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCM$ (угол $C$ прямой). Его катеты $BC = 10$ см и $CM = 12$ см. Медиана $m_b$ (отрезок $BM$) является гипотенузой этого треугольника.
По теореме Пифагора для треугольника $BCM$:
$m_b^2 = BC^2 + CM^2$
$m_b^2 = 10^2 + 12^2 = 100 + 144 = 244$
$m_b = \sqrt{244} = \sqrt{4 \cdot 61} = 2\sqrt{61}$ см.
Ответ: $2\sqrt{61}$ см.