Номер 2.8, страница 127 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

2.8. a) Величины двух углов равнобедренного тупоугольного треугольника относятся как $1 : 4$. Меньшая высота треугольника равна 2 см. Найдите его большую высоту.

б) Величины углов треугольника относятся как $1 : 4 : 1$. Большая высота треугольника равна 6 см. Найдите меньшую сторону этого треугольника.

а)

Пусть углы равнобедренного тупоугольного треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Поскольку треугольник равнобедренный, два его угла равны. Пусть это будут углы при основании, $\alpha = \gamma$. По условию, треугольник тупоугольный, то есть один из углов больше $90°$. Сумма углов в треугольнике составляет $180°$.

Величины двух углов относятся как $1:4$. Рассмотрим возможные случаи:

1. Угол при основании и угол при вершине относятся как $1:4$. Пусть угол при основании равен $x$, тогда угол при вершине равен $4x$. Углы треугольника будут $x, x, 4x$. Их сумма: $x + x + 4x = 180°$, откуда $6x = 180°$, и $x = 30°$. Углы треугольника равны $30°, 30°, 120°$. Так как угол $120°$ является тупым, этот случай удовлетворяет условию.

2. Один из равных углов и третий угол относятся как $1:4$, причем равные углы больше. Пусть третий угол равен $x$, тогда равные углы равны $4x$. Углы треугольника: $4x, 4x, x$. Их сумма: $4x + 4x + x = 180°$, откуда $9x = 180°$, и $x = 20°$. Углы равны $80°, 80°, 20°$. Все углы острые, следовательно, треугольник остроугольный. Этот случай не подходит.

Таким образом, углы треугольника равны $30°, 30°, 120°$. Обозначим стороны треугольника $a, a, b$, где $a$ — боковые стороны, а $b$ — основание. Сторона $b$ лежит напротив тупого угла $120°$, а стороны $a$ — напротив острых углов $30°$. В треугольнике большей стороне соответствует меньшая высота, и наоборот. Следовательно, высота, проведенная к основанию $b$ ($h_b$), является наименьшей, а высоты, проведенные к боковым сторонам $a$ ($h_a$), — наибольшими (и равными между собой).

По условию, меньшая высота равна 2 см, то есть $h_b = 2$ см. Требуется найти большую высоту, то есть $h_a$.

Площадь треугольника $S$ можно выразить двумя способами: $S = \frac{1}{2} b \cdot h_b$ и $S = \frac{1}{2} a \cdot h_a$. Приравняв эти выражения, получим: $b \cdot h_b = a \cdot h_a$. Отсюда $h_a = h_b \cdot \frac{b}{a}$.

Найдем отношение сторон $\frac{b}{a}$ с помощью теоремы синусов: $\frac{a}{\sin 30°} = \frac{b}{\sin 120°}$ $\frac{b}{a} = \frac{\sin 120°}{\sin 30°} = \frac{\sin(180°-60°)}{\sin 30°} = \frac{\sin 60°}{\sin 30°} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$.

Теперь можем найти большую высоту: $h_a = h_b \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Ответ: $2\sqrt{3}$ см.

б)

Пусть углы треугольника равны $x$, $4x$ и $x$ в соответствии с заданным отношением $1:4:1$. Сумма углов треугольника равна $180°$: $x + 4x + x = 180°$ $6x = 180°$ $x = 30°$ Следовательно, углы треугольника равны $30°, 120°, 30°$.

Треугольник является равнобедренным, так как два его угла равны ($30°$). Боковые стороны лежат напротив равных углов, а основание — напротив угла $120°$. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Таким образом, основание, лежащее напротив угла $120°$, является большей стороной, а боковые стороны, лежащие напротив углов $30°$, — меньшими.

В треугольнике большей стороне соответствует меньшая высота, а меньшей стороне — большая высота. Так как боковые стороны являются меньшими, высоты, проведенные к ним, будут большими.

По условию, большая высота треугольника равна 6 см. Обозначим боковую сторону (меньшую сторону) как $a$, а высоту, проведенную к ней, как $h_a$. Тогда $h_a = 6$ см. Нам нужно найти длину стороны $a$.

Пусть дан треугольник $ABC$, где $\angle A = \angle C = 30°$, $\angle B = 120°$. Боковые стороны $AB = BC = a$. Высота $h_a$ из вершины $A$ проводится к прямой, содержащей сторону $BC$. Так как угол $\angle B$ тупой, основание высоты (точка $D$) будет лежать на продолжении стороны $BC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$. Угол $\angle ABD$ является смежным с углом $\angle ABC$: $\angle ABD = 180° - \angle ABC = 180° - 120° = 60°$. В прямоугольном треугольнике $ABD$ гипотенузой является сторона $AB = a$. Катет $AD=h_a=6$ см лежит напротив угла $\angle ABD$. Из определения синуса в прямоугольном треугольнике: $\sin(\angle ABD) = \frac{AD}{AB}$. $\sin(60°) = \frac{h_a}{a}$ $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6}{a}$ $a \cdot \sqrt{3} = 12$ $a = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Поскольку $a$ — это длина меньшей стороны, мы нашли искомую величину.

Ответ: $4\sqrt{3}$ см.