Номер 2.1, страница 126 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

2.1. Используя данные рисунков 206, а)—г), найдите неизвестную величину.

а) $ \sin\beta = \frac{5}{6}; b — ? $

б) $ \cos\gamma = \frac{3}{4}; c — ? $

в) $ \text{tg}\beta = 0,6; a — ? $

г) $ \text{ctg}\alpha = 1\frac{1}{3}; m — ? $

Рис. 206

a) В данном прямоугольном треугольнике катет b является противолежащим углу β, а гипотенуза равна 12.
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Формула: $sin β = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$.
Подставляем известные значения: $sin β = \frac{b}{12}$.
Согласно условию, $sin β = \frac{5}{6}$. Приравниваем два выражения для синуса: $\frac{b}{12} = \frac{5}{6}$.
Чтобы найти b, умножим обе части уравнения на 12:
$b = 12 \cdot \frac{5}{6} = \frac{60}{6} = 10$.
Ответ: 10.

б) В данном прямоугольном треугольнике катет, равный 3, является прилежащим к углу γ, а гипотенуза равна c.
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Формула: $cos γ = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$.
Подставляем известные значения: $cos γ = \frac{3}{c}$.
Согласно условию, $cos γ = \frac{3}{4}$. Приравниваем два выражения для косинуса: $\frac{3}{c} = \frac{3}{4}$.
Из пропорции следует, что $c = 4$.
Ответ: 4.

в) В данном прямоугольном треугольнике катет, равный 3, является противолежащим углу β, а катет a — прилежащим к углу β.
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Формула: $tg β = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$.
Подставляем известные значения: $tg β = \frac{3}{a}$.
Согласно условию, $tg β = 0,6$. Приравниваем два выражения для тангенса: $\frac{3}{a} = 0,6$.
Чтобы найти a, выразим его из уравнения: $a = \frac{3}{0,6} = \frac{3}{6/10} = 3 \cdot \frac{10}{6} = \frac{30}{6} = 5$.
Ответ: 5.

г) В данном прямоугольном треугольнике катет m является прилежащим к углу α, а катет, равный 5, — противолежащим углу α.
Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение прилежащего катета к противолежащему катету.
Формула: $ctg α = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}}$.
Подставляем известные значения: $ctg α = \frac{m}{5}$.
Согласно условию, $ctg α = 1\frac{1}{3}$. Переведем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$.
Приравниваем два выражения для котангенса: $\frac{m}{5} = \frac{4}{3}$.
Чтобы найти m, умножим обе части уравнения на 5:
$m = 5 \cdot \frac{4}{3} = \frac{20}{3}$.
Ответ: $\frac{20}{3}$.