Номер 1.4, страница 125 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

1.4. а) Стороны прямоугольника относятся как $5 : 12$. Найдите косинус большего острого угла между диагональю прямоугольника и его стороной.

б) Диагональ прямоугольника относится к одной из его сторон как $17 : 8$. Найдите косинус меньшего острого угла между диагональю прямоугольника и его стороной.

а)

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. По условию, их отношение равно $a : b = 5 : 12$. Можно принять, что $a = 5x$ и $b = 12x$, где $x$ — некоторый коэффициент пропорциональности.

Диагональ прямоугольника $d$ является гипотенузой для прямоугольного треугольника, катетами которого служат стороны $a$ и $b$. По теореме Пифагора: $$d^2 = a^2 + b^2 = (5x)^2 + (12x)^2 = 25x^2 + 144x^2 = 169x^2$$ Отсюда $d = \sqrt{169x^2} = 13x$.

Диагональ образует со сторонами прямоугольника два острых угла. Пусть $\alpha$ — это угол между диагональю $d$ и большей стороной $b$, а $\beta$ — угол между диагональю $d$ и меньшей стороной $a$.

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Найдем косинусы этих углов: $$\cos \alpha = \frac{b}{d} = \frac{12x}{13x} = \frac{12}{13}$$ $$\cos \beta = \frac{a}{d} = \frac{5x}{13x} = \frac{5}{13}$$

Требуется найти косинус большего из этих двух углов. В прямоугольном треугольнике больший острый угол лежит против большего катета. Так как $b > a$ ($12x > 5x$), то угол, лежащий против стороны $b$ (это угол $\beta$), будет больше угла, лежащего против стороны $a$ (это угол $\alpha$). Таким образом, $\beta > \alpha$. Также можно сравнить косинусы: для острых углов, чем меньше значение косинуса, тем больше угол. Поскольку $\frac{5}{13} < \frac{12}{13}$, то $\cos \beta < \cos \alpha$, и, следовательно, $\beta > \alpha$.

Больший острый угол — это $\beta$, и его косинус равен $\frac{5}{13}$.

Ответ: $\frac{5}{13}$

б)

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, а диагональ равна $d$. По условию, диагональ относится к одной из сторон как $17 : 8$. Пусть это будет сторона $a$. Тогда $d : a = 17 : 8$. Можно принять, что $d = 17x$ и $a = 8x$, где $x$ — коэффициент пропорциональности.

Стороны $a$, $b$ и диагональ $d$ образуют прямоугольный треугольник, где $d$ — гипотенуза. По теореме Пифагора $a^2 + b^2 = d^2$. Найдем вторую сторону $b$: $$b^2 = d^2 - a^2 = (17x)^2 - (8x)^2 = 289x^2 - 64x^2 = 225x^2$$ Отсюда $b = \sqrt{225x^2} = 15x$. Итак, стороны прямоугольника равны $8x$ и $15x$.

Диагональ образует со сторонами $a$ и $b$ два острых угла. Пусть $\alpha$ — угол между диагональю и стороной $b$, а $\beta$ — угол между диагональю и стороной $a$.

Найдем косинусы этих углов: $$\cos \alpha = \frac{b}{d} = \frac{15x}{17x} = \frac{15}{17}$$ $$\cos \beta = \frac{a}{d} = \frac{8x}{17x} = \frac{8}{17}$$

Требуется найти косинус меньшего из этих двух углов. В прямоугольном треугольнике меньший острый угол лежит против меньшего катета. Так как $a < b$ ($8x < 15x$), то угол, лежащий против стороны $a$ (это угол $\alpha$), будет меньше угла, лежащего против стороны $b$ (это угол $\beta$). Таким образом, $\alpha < \beta$. Или, сравнивая косинусы: для острых углов, чем больше значение косинуса, тем меньше угол. Поскольку $\frac{15}{17} > \frac{8}{17}$, то $\cos \alpha > \cos \beta$, и, следовательно, $\alpha < \beta$.

Меньший острый угол — это $\alpha$, и его косинус равен $\frac{15}{17}$.

Ответ: $\frac{15}{17}$