Номер 1.2, страница 125 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

1.2. a) В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна 1,2 см. Найдите площадь треугольника, если синус одного из острых углов этого треугольника равен $ \frac{2}{3} $.

б) В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна 1,4 см. Найдите площадь треугольника, если косинус одного из острых углов этого треугольника равен $ \frac{3}{7} $.

а)

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, и гипотенузой $c$. Медиана, проведенная к гипотенузе, обозначается как $m_c$.

1. По свойству прямоугольного треугольника, медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.
$m_c = \frac{1}{2}c$
По условию, $m_c = 1,2$ см. Отсюда находим гипотенузу:
$c = 2 \cdot m_c = 2 \cdot 1,2 = 2,4$ см.

2. Пусть $\alpha$ — один из острых углов треугольника. По условию, $\sin \alpha = \frac{2}{3}$.
Площадь треугольника $S$ можно вычислить по формуле, использующей две стороны и синус угла между ними. В нашем случае, катеты $a$ и $b$ образуют прямой угол, поэтому $S = \frac{1}{2}ab$.

3. Выразим катеты через гипотенузу $c$ и угол $\alpha$:
$a = c \cdot \sin \alpha$
$b = c \cdot \cos \alpha$

4. Найдем $\cos \alpha$ с помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:
$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$
Так как $\alpha$ — острый угол, $\cos \alpha$ положителен:
$\cos \alpha = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

5. Теперь найдем площадь треугольника, подставив выражения для катетов:
$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} (c \sin \alpha)(c \cos \alpha) = \frac{1}{2}c^2 \sin \alpha \cos \alpha$
Подставим числовые значения:
$S = \frac{1}{2} \cdot (2,4)^2 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{1}{2} \cdot 5,76 \cdot \frac{2\sqrt{5}}{9} = \frac{5,76 \cdot \sqrt{5}}{9} = 0,64\sqrt{5}$ см$^2$.

Ответ: $0,64\sqrt{5}$ см$^2$.

б)

Задача решается аналогично предыдущему пункту.

1. Находим гипотенузу $c$ через медиану $m_c = 1,4$ см:
$c = 2 \cdot m_c = 2 \cdot 1,4 = 2,8$ см.

2. По условию, косинус одного из острых углов, пусть это будет $\alpha$, равен $\frac{3}{7}$.
$\cos \alpha = \frac{3}{7}$

3. Для нахождения площади по формуле $S = \frac{1}{2}c^2 \sin \alpha \cos \alpha$ нам нужен $\sin \alpha$. Найдем его из основного тригонометрического тождества:
$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{3}{7}\right)^2 = 1 - \frac{9}{49} = \frac{40}{49}$
Так как $\alpha$ — острый угол, $\sin \alpha$ положителен:
$\sin \alpha = \sqrt{\frac{40}{49}} = \frac{\sqrt{40}}{7} = \frac{\sqrt{4 \cdot 10}}{7} = \frac{2\sqrt{10}}{7}$

4. Вычисляем площадь треугольника:
$S = \frac{1}{2}c^2 \sin \alpha \cos \alpha$
$S = \frac{1}{2} \cdot (2,8)^2 \cdot \frac{2\sqrt{10}}{7} \cdot \frac{3}{7} = \frac{1}{2} \cdot 7,84 \cdot \frac{6\sqrt{10}}{49}$
$S = 3,92 \cdot \frac{6\sqrt{10}}{49}$
Разделим $3,92$ на $49$: $3,92 \div 49 = 0,08$.
$S = 0,08 \cdot 6\sqrt{10} = 0,48\sqrt{10}$ см$^2$.

Ответ: $0,48\sqrt{10}$ см$^2$.