Номер 1.1, страница 124 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

1.1. По данным рисунков 205, а)—е) найдите $\sin \alpha, \cos \alpha, \operatorname{tg} \alpha, \operatorname{ctg} \alpha$.

а) б) в) г) ABCD — ромб

д) ABCD — прямоугольник

е) MNKP — трапеция, $MP \parallel NK, MP : KP = 3 : 1$

Рис. 205

а) В данном прямоугольном треугольнике известны все три стороны: катет, прилежащий к углу $ \alpha $, равен 1; катет, противолежащий углу $ \alpha $, равен $ \sqrt{3} $; гипотенуза равна 2. Для нахождения тригонометрических функций используем их определения в прямоугольном треугольнике.

$ \sin\alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \cos\alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{1}{2} $

$ \text{tg}\alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3} $

$ \text{ctg}\alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} $

Ответ: $ \sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}, \cos\alpha = \frac{1}{2}, \text{tg}\alpha = \sqrt{3}, \text{ctg}\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3} $.

б) В данном прямоугольном треугольнике известен катет, противолежащий углу $ \alpha $ (равен 5), и гипотенуза (равна 6). Найдем катет, прилежащий к углу $ \alpha $ (обозначим его $x$), используя теорему Пифагора:

$ x^2 + 5^2 = 6^2 $

$ x^2 + 25 = 36 $

$ x^2 = 11 \implies x = \sqrt{11} $

Теперь вычислим значения тригонометрических функций:

$ \sin\alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{5}{6} $

$ \cos\alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{\sqrt{11}}{6} $

$ \text{tg}\alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{5}{\sqrt{11}} = \frac{5\sqrt{11}}{11} $

$ \text{ctg}\alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{\sqrt{11}}{5} $

Ответ: $ \sin\alpha = \frac{5}{6}, \cos\alpha = \frac{\sqrt{11}}{6}, \text{tg}\alpha = \frac{5\sqrt{11}}{11}, \text{ctg}\alpha = \frac{\sqrt{11}}{5} $.

в) В данном прямоугольном треугольнике известен катет, прилежащий к углу $ \alpha $ (равен $ 2,5\sqrt{3} $), и гипотенуза (равна $ 5\sqrt{3} $). Найдем катет, противолежащий углу $ \alpha $ (обозначим его $y$), по теореме Пифагора:

$ y^2 + (2,5\sqrt{3})^2 = (5\sqrt{3})^2 $

$ y^2 + 6,25 \cdot 3 = 25 \cdot 3 $

$ y^2 + 18,75 = 75 $

$ y^2 = 56,25 \implies y = \sqrt{56,25} = 7,5 $

Теперь вычислим значения тригонометрических функций:

$ \sin\alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{7,5}{5\sqrt{3}} = \frac{15/2}{5\sqrt{3}} = \frac{15}{10\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \cos\alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{2,5\sqrt{3}}{5\sqrt{3}} = \frac{2,5}{5} = \frac{1}{2} $

$ \text{tg}\alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{7,5}{2,5\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} $

$ \text{ctg}\alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{2,5\sqrt{3}}{7,5} = \frac{\sqrt{3}}{3} $

Ответ: $ \sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}, \cos\alpha = \frac{1}{2}, \text{tg}\alpha = \sqrt{3}, \text{ctg}\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3} $.

г) Фигура ABCD — ромб. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Угол $ \alpha = \angle OAB $ является углом прямоугольного треугольника $ \triangle AOB $ ($ \angle AOB = 90^\circ $). Стороны ромба равны, поэтому $ AB = BC = 5 $. В прямоугольном треугольнике $ \triangle BOC $ известны гипотенуза $ BC=5 $ и катет $ OC=4 $. Найдем катет $ OB $:

$ OB^2 + OC^2 = BC^2 \implies OB^2 + 4^2 = 5^2 \implies OB^2 = 25 - 16 = 9 \implies OB = 3 $.

Теперь рассмотрим $ \triangle AOB $. Катет $ OB=3 $ является противолежащим углу $ \alpha $. Гипотенуза $ AB=5 $. Найдем прилежащий катет $ OA $:

$ OA^2 + OB^2 = AB^2 \implies OA^2 + 3^2 = 5^2 \implies OA^2 = 25 - 9 = 16 \implies OA = 4 $.

Теперь находим тригонометрические функции для угла $ \alpha $ в $ \triangle AOB $:

$ \sin\alpha = \frac{OB}{AB} = \frac{3}{5} $

$ \cos\alpha = \frac{OA}{AB} = \frac{4}{5} $

$ \text{tg}\alpha = \frac{OB}{OA} = \frac{3}{4} $

$ \text{ctg}\alpha = \frac{OA}{OB} = \frac{4}{3} $

Ответ: $ \sin\alpha = \frac{3}{5}, \cos\alpha = \frac{4}{5}, \text{tg}\alpha = \frac{3}{4}, \text{ctg}\alpha = \frac{4}{3} $.

д) Фигура ABCD — прямоугольник, поэтому $ \angle B = 90^\circ $. Угол $ \alpha = \angle CAB $ является углом прямоугольного треугольника $ \triangle ABC $. Известны катеты: прилежащий $ AB = 2 $ и противолежащий $ BC = 3 $. Найдем гипотенузу $ AC $ по теореме Пифагора:

$ AC^2 = AB^2 + BC^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13 \implies AC = \sqrt{13} $.

Вычислим значения тригонометрических функций:

$ \sin\alpha = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{\sqrt{13}} = \frac{3\sqrt{13}}{13} $

$ \cos\alpha = \frac{AB}{AC} = \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{13}}{13} $

$ \text{tg}\alpha = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{2} $

$ \text{ctg}\alpha = \frac{AB}{BC} = \frac{2}{3} $

Ответ: $ \sin\alpha = \frac{3\sqrt{13}}{13}, \cos\alpha = \frac{2\sqrt{13}}{13}, \text{tg}\alpha = \frac{3}{2}, \text{ctg}\alpha = \frac{2}{3} $.

е) Фигура MNKP — трапеция с основаниями $ MP \parallel NK $. Диагональ $ MK $ перпендикулярна стороне $ KP $, значит, $ \triangle MKP $ — прямоугольный ($ \angle MKP = 90^\circ $). Угол $ \alpha = \angle NKM $. Так как $ MP \parallel NK $, то накрест лежащие углы при секущей $ MK $ равны: $ \angle NKM = \angle KMP = \alpha $. Следовательно, мы можем найти значения тригонометрических функций для угла $ \alpha $ из $ \triangle MKP $.

По условию $ MP : KP = 3 : 1 $. Пусть $ KP = x $, тогда гипотенуза $ MP = 3x $. По теореме Пифагора найдем катет $ MK $:

$ MK^2 + KP^2 = MP^2 \implies MK^2 + x^2 = (3x)^2 \implies MK^2 = 9x^2 - x^2 = 8x^2 \implies MK = \sqrt{8x^2} = 2x\sqrt{2} $.

В $ \triangle MKP $ для угла $ \alpha = \angle KMP $: противолежащий катет $ KP=x $, прилежащий катет $ MK = 2x\sqrt{2} $, гипотенуза $ MP = 3x $.

Находим тригонометрические функции:

$ \sin\alpha = \frac{KP}{MP} = \frac{x}{3x} = \frac{1}{3} $

$ \cos\alpha = \frac{MK}{MP} = \frac{2x\sqrt{2}}{3x} = \frac{2\sqrt{2}}{3} $

$ \text{tg}\alpha = \frac{KP}{MK} = \frac{x}{2x\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} $

$ \text{ctg}\alpha = \frac{MK}{KP} = \frac{2x\sqrt{2}}{x} = 2\sqrt{2} $

Ответ: $ \sin\alpha = \frac{1}{3}, \cos\alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}, \text{tg}\alpha = \frac{\sqrt{2}}{4}, \text{ctg}\alpha = 2\sqrt{2} $.