Номер 2.13, страница 128 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

2.13. Докажите, что если $\beta$ и $\alpha$ — острые углы прямоугольного треугольника, то $\operatorname{tg}\beta + \operatorname{tg}\alpha = \frac{1}{\sin\beta} \cdot \frac{1}{\sin\alpha}$.

Доказательство

По условию, $\alpha$ и $\beta$ — острые углы прямоугольного треугольника. Сумма углов в любом треугольнике равна $180°$. Так как один из углов прямой ($90°$), то сумма двух острых углов также равна $90°$:

$\alpha + \beta = 90°$

Наша задача — доказать тождество $\tg\beta + \tg\alpha = \frac{1}{\sin\beta} \cdot \frac{1}{\sin\alpha}$.

Преобразуем левую часть равенства. Для этого представим тангенсы как отношение синуса к косинусу:

$\tg\beta + \tg\alpha = \frac{\sin\beta}{\cos\beta} + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

Приведем дроби к общему знаменателю $\cos\beta \cos\alpha$:

$\frac{\sin\beta\cos\alpha + \cos\beta\sin\alpha}{\cos\beta\cos\alpha}$

В числителе получившегося выражения мы видим формулу синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$. Применим эту формулу:

$\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\beta\cos\alpha}$

Так как мы знаем, что $\alpha + \beta = 90°$, то $\sin(\alpha + \beta) = \sin(90°) = 1$. Подставим это значение в числитель:

$\frac{1}{\cos\beta\cos\alpha}$

Теперь воспользуемся формулами приведения, которые следуют из соотношения $\alpha + \beta = 90°$:

$\cos\beta = \cos(90° - \alpha) = \sin\alpha$

$\cos\alpha = \cos(90° - \beta) = \sin\beta$

Подставим эти выражения для косинусов в знаменатель нашей дроби:

$\frac{1}{\sin\alpha \cdot \sin\beta}$

Таким образом, мы преобразовали левую часть исходного равенства и получили его правую часть:

$\tg\beta + \tg\alpha = \frac{1}{\sin\beta\sin\alpha}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано, так как преобразование левой части с учетом того, что $\alpha$ и $\beta$ — острые углы прямоугольного треугольника, приводит к выражению в правой части.