Номер 4.2, страница 130 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

4.2. Известно, что $\alpha + \beta = 180^{\circ}$. Найдите угол $\alpha$ и $\sin\alpha$, $\cos\alpha$, $\operatorname{tg}\alpha$ и $\operatorname{ctg}\alpha$, если:

a) $\operatorname{ctg}\beta = \sqrt{3}$;

б) $\operatorname{ctg}\beta = 1$.

Из условия задачи известно, что сумма углов $\alpha$ и $\beta$ равна $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta = 180^\circ$. Это означает, что углы являются смежными. Из этого соотношения можно выразить угол $\alpha$ через $\beta$: $\alpha = 180^\circ - \beta$.

Для решения задачи воспользуемся формулами приведения для тригонометрических функций:

• $\sin \alpha = \sin(180^\circ - \beta) = \sin \beta$
• $\cos \alpha = \cos(180^\circ - \beta) = -\cos \beta$
• $\text{tg} \, \alpha = \text{tg}(180^\circ - \beta) = -\text{tg} \, \beta$
• $\text{ctg} \, \alpha = \text{ctg}(180^\circ - \beta) = -\text{ctg} \, \beta$

а) По условию $\text{ctg} \, \beta = \sqrt{3}$.

Сначала найдём угол $\beta$. Так как значение котангенса положительно, и в подобных задачах обычно рассматриваются углы в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$, угол $\beta$ должен быть острым. Табличное значение для $\text{ctg} \, \beta = \sqrt{3}$ это $\beta = 30^\circ$.

Теперь найдём угол $\alpha$. Используя соотношение $\alpha = 180^\circ - \beta$, получаем: $\alpha = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

Далее найдём значения тригонометрических функций для угла $\alpha$. Зная, что $\alpha=150^\circ$:

$\sin \alpha = \sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.

$\cos \alpha = \cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\text{tg} \, \alpha = \text{tg} \, 150^\circ = \text{tg}(180^\circ - 30^\circ) = -\text{tg} \, 30^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

$\text{ctg} \, \alpha = \text{ctg} \, 150^\circ = \text{ctg}(180^\circ - 30^\circ) = -\text{ctg} \, 30^\circ = -\sqrt{3}$.

Ответ: $\alpha = 150^\circ$, $\sin \alpha = \frac{1}{2}$, $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\text{tg} \, \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, $\text{ctg} \, \alpha = -\sqrt{3}$.

б) По условию $\text{ctg} \, \beta = 1$.

Найдём угол $\beta$. Аналогично пункту а), из $\text{ctg} \, \beta = 1$ следует, что острый угол $\beta = 45^\circ$.

Найдём угол $\alpha$ из соотношения $\alpha = 180^\circ - \beta$: $\alpha = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Теперь найдём значения тригонометрических функций для угла $\alpha=135^\circ$:

$\sin \alpha = \sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$\cos \alpha = \cos 135^\circ = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$\text{tg} \, \alpha = \text{tg} \, 135^\circ = \text{tg}(180^\circ - 45^\circ) = -\text{tg} \, 45^\circ = -1$.

$\text{ctg} \, \alpha = \text{ctg} \, 135^\circ = \text{ctg}(180^\circ - 45^\circ) = -\text{ctg} \, 45^\circ = -1$.

Ответ: $\alpha = 135^\circ$, $\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\text{tg} \, \alpha = -1$, $\text{ctg} \, \alpha = -1$.