Номер 5.5, страница 132 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

5.5. a) Косинус угла параллелограмма равен $-$\frac{1}{4}$, а его стороны $-$ $\sqrt{15}$ см и 20 см. Найдите сторону квадрата, равновеликого данному параллелограмму.

б) Квадрат со стороной $4\sqrt{3}$ см и параллелограмм со сторонами 18 см и $2\sqrt{2}$ см равновелики. Найдите косинус тупого угла параллелограмма.

а)

Площадь параллелограмма $S_p$ вычисляется по формуле $S_p = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$, где $a$ и $b$ — смежные стороны, а $\alpha$ — угол между ними. По условию, стороны параллелограмма равны $a = \sqrt{15}$ см и $b = 20$ см. Косинус одного из углов параллелограмма равен $\cos(\alpha) = -\frac{1}{4}$. Так как косинус отрицательный, этот угол $\alpha$ является тупым.

Найдем синус этого угла, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$. Для угла параллелограмма ($0 < \alpha < 180^\circ$) синус всегда положителен. $\sin(\alpha) = \sqrt{1 - \cos^2(\alpha)} = \sqrt{1 - (-\frac{1}{4})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$.

Теперь вычислим площадь параллелограмма: $S_p = \sqrt{15} \cdot 20 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{20 \cdot (\sqrt{15})^2}{4} = \frac{20 \cdot 15}{4} = 5 \cdot 15 = 75$ см².

По условию, квадрат равновелик данному параллелограмму, то есть их площади равны. Пусть сторона квадрата равна $c$. Площадь квадрата $S_{кв} = c^2$. $S_{кв} = S_p$, следовательно, $c^2 = 75$. $c = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$ см.

Ответ: $5\sqrt{3}$ см.

б)

Равновеликие фигуры имеют одинаковую площадь. Найдем площадь квадрата со стороной $a_{кв} = 4\sqrt{3}$ см. $S_{кв} = (a_{кв})^2 = (4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$ см².

Площадь параллелограмма $S_p$ равна площади квадрата, то есть $S_p = 48$ см². Стороны параллелограмма равны $a_p = 18$ см и $b_p = 2\sqrt{2}$ см. Площадь параллелограмма также вычисляется по формуле $S_p = a_p \cdot b_p \cdot \sin(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между сторонами.

Подставим известные значения и найдем синус угла $\alpha$: $48 = 18 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sin(\alpha)$
$48 = 36\sqrt{2} \cdot \sin(\alpha)$
$\sin(\alpha) = \frac{48}{36\sqrt{2}} = \frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{3\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

В параллелограмме есть два равных острых угла и два равных тупых угла. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Синусы смежных углов равны, а косинусы противоположны по знаку. Нам нужно найти косинус тупого угла. Обозначим этот угол $\beta$. Для тупого угла косинус отрицателен. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\beta) + \cos^2(\beta) = 1$, найдем косинус: $\cos^2(\beta) = 1 - \sin^2(\beta) = 1 - (\frac{2\sqrt{2}}{3})^2 = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$.
$\cos(\beta) = \pm\sqrt{\frac{1}{9}} = \pm\frac{1}{3}$.

Так как $\beta$ — тупой угол, его косинус отрицателен. $\cos(\beta) = -\frac{1}{3}$.

Ответ: $-\frac{1}{3}$.