Номер 5.11, страница 134 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

5.11. На рисунке 213 изображена трапеция FETS. Найдите ее площадь, если $SE = 2\sqrt{2}$.

Рис. 213

5.11. Дано: FETS - трапеция, ET || FS. Из пометок на рисунке следует, что боковые стороны равны: EF = TS. Следовательно, трапеция FETS является равнобедренной.

В равнобедренной трапеции диагонали равны. По условию задачи, длина одной из диагоналей $SE = 2\sqrt{2}$. Значит, длина второй диагонали FT также равна $2\sqrt{2}$.

Площадь любого выпуклого четырехугольника (и трапеции в частности) можно найти по формуле, использующей длины его диагоналей и угол между ними:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \gamma$,

где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей, а $\gamma$ — угол между ними.

В нашем случае $d_1 = SE = 2\sqrt{2}$ и $d_2 = FT = 2\sqrt{2}$.

Найдем угол $\gamma$ между диагоналями SE и FT. Пусть O — точка пересечения диагоналей.

В равнобедренной трапеции углы, которые каждая диагональ образует с одним и тем же основанием, равны. На рисунке дан угол между диагональю FT и основанием FS: $\angle TFS = 22,5^\circ$.

Следовательно, угол, который образует диагональ SE с тем же основанием FS, будет таким же: $\angle ESF = \angle TFS = 22,5^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle FOS$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Два угла нам известны: $\angle OFS = 22,5^\circ$ и $\angle OSF = 22,5^\circ$.

Третий угол треугольника, который является одним из углов между диагоналями, равен:

$\angle FOS = 180^\circ - (\angle OFS + \angle OSF) = 180^\circ - (22,5^\circ + 22,5^\circ) = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Смежный с ним угол, который также является углом между диагоналями, равен $\gamma = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$. Для вычисления площади можно использовать синус любого из этих углов, так как $\sin(135^\circ) = \sin(45^\circ)$.

Возьмем $\gamma = 45^\circ$. Значение синуса этого угла: $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь подставим все значения в формулу площади:

$S_{FETS} = \frac{1}{2} \cdot SE \cdot FT \cdot \sin(\gamma) = \frac{1}{2} \cdot (2\sqrt{2}) \cdot (2\sqrt{2}) \cdot \sin(45^\circ)$

$S_{FETS} = \frac{1}{2} \cdot (4 \cdot 2) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.

Таким образом, площадь трапеции FETS равна $2\sqrt{2}$.

Ответ: $2\sqrt{2}$.