Номер 6.3, страница 135 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

6.3. a) Длина перпендикуляра TE, проведенного из точки T окружности к ее диаметру AB, равна $2\sqrt{5}$. Найдите длины хорд TA и TB, если радиус окружности равен 6.

б) Из точки P окружности проведен перпендикуляр PK к ее диаметру BC, $BK = 4$, $KC = 8$. Найдите площадь треугольника BPC.

а)

Пусть $O$ - центр окружности. По условию, радиус окружности $R=6$, следовательно, ее диаметр $AB = 2R = 12$. Точка $T$ лежит на окружности. $TE$ - перпендикуляр, проведенный из точки $T$ к диаметру $AB$, и его длина $TE = 2\sqrt{5}$.

Рассмотрим треугольник $OTE$. Он является прямоугольным, так как по условию $TE \perp AB$. Гипотенузой этого треугольника является радиус $OT$, проведенный к точке $T$ на окружности, поэтому $OT=R=6$. Катетами являются отрезки $TE$ и $OE$.

Применим теорему Пифагора для треугольника $OTE$:

$OT^2 = OE^2 + TE^2$

Подставим известные значения:

$6^2 = OE^2 + (2\sqrt{5})^2$

$36 = OE^2 + 4 \cdot 5$

$36 = OE^2 + 20$

$OE^2 = 36 - 20 = 16$

$OE = \sqrt{16} = 4$

Точка $E$ лежит на диаметре $AB$ между точками $A$ и $B$. Найдем длины отрезков $AE$ и $EB$.

$AE = AO + OE = 6 + 4 = 10$

$EB = OB - OE = 6 - 4 = 2$

(Если бы точка $E$ находилась по другую сторону от центра $O$, длины отрезков были бы $AE=2$ и $EB=10$, что привело бы к тому же набору длин хорд $TA$ и $TB$).

Поскольку $AB$ - диаметр, то угол $ATB$, опирающийся на диаметр, является прямым, то есть $\angle ATB = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $ATB$ - прямоугольный, а $TE$ - его высота, опущенная на гипотенузу $AB$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ATE$. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $TA$:

$TA^2 = AE^2 + TE^2 = 10^2 + (2\sqrt{5})^2 = 100 + 20 = 120$

$TA = \sqrt{120} = \sqrt{4 \cdot 30} = 2\sqrt{30}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BTE$. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $TB$:

$TB^2 = EB^2 + TE^2 = 2^2 + (2\sqrt{5})^2 = 4 + 20 = 24$

$TB = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$

Ответ: $2\sqrt{30}$ и $2\sqrt{6}$.

б)

По условию, $BC$ - диаметр окружности, а точка $P$ лежит на окружности. Угол, вписанный в окружность и опирающийся на диаметр, является прямым. Следовательно, $\angle BPC = 90^\circ$. Это означает, что треугольник $BPC$ является прямоугольным, а $BC$ - его гипотенуза.

Из точки $P$ проведен перпендикуляр $PK$ к диаметру $BC$. В прямоугольном треугольнике $BPC$ отрезок $PK$ является высотой, проведенной к гипотенузе.

Найдем длину гипотенузы $BC$, которая является основанием треугольника $BPC$.

$BC = BK + KC = 4 + 8 = 12$

Для вычисления площади треугольника $BPC$ воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. В нашем случае основание - это $BC$, а высота - $PK$.

$S_{BPC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot PK$

Для нахождения длины высоты $PK$ воспользуемся свойством высоты в прямоугольном треугольнике, проведенной к гипотенузе: квадрат высоты равен произведению отрезков, на которые высота делит гипотенузу.

$PK^2 = BK \cdot KC$

$PK^2 = 4 \cdot 8 = 32$

$PK = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$

Теперь можем вычислить площадь треугольника $BPC$:

$S_{BPC} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 4\sqrt{2} = 6 \cdot 4\sqrt{2} = 24\sqrt{2}$

Ответ: $24\sqrt{2}$.