Номер 6.1, страница 134 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

6.1. Используя данные рисунков 214, а)—г), найдите длину отрезка x.

а) $8^2 = (2+x) \cdot 2$

б) $4^2 = x \cdot (8-x)$

в) $(\sqrt{10})^2 = (3+x) \cdot x$

г) $\text{tg}\alpha = \frac{3}{4}$

$(\frac{3}{4}x)^2 = 9x$

Рис. 214

a)

На рисунке, по всей видимости, изображен прямоугольный треугольник, в котором к гипотенузе проведена высота $x$. Хотя рисунок может быть неточным, задача решается с помощью метрических соотношений в прямоугольном треугольнике, согласно которым высота делит гипотенузу на два отрезка (проекции катетов) длиной 8 и 2.

Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению длин отрезков, на которые она делит гипотенузу. Обозначим высоту как $h$, а отрезки как $p_1$ и $p_2$. Формула имеет вид:

$h^2 = p_1 \cdot p_2$

В данном случае $h = x$, $p_1 = 8$, $p_2 = 2$.

Подставим значения в формулу:

$x^2 = 8 \cdot 2$

$x^2 = 16$

$x = \sqrt{16} = 4$

Ответ: 4

б)

На рисунке изображен прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза равна 8, а один из катетов равен 4. Из вершины прямого угла проведена высота к гипотенузе. Отрезок $x$ является проекцией катета длиной 4 на гипотенузу.

Согласно метрическим соотношениям в прямоугольном треугольнике, квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Обозначим катет как $a$, гипотенузу как $c$, а проекцию катета как $p_a$. Формула имеет вид:

$a^2 = c \cdot p_a$

В данном случае $a = 4$, $c = 8$, $p_a = x$.

Подставим значения в формулу:

$4^2 = 8 \cdot x$

$16 = 8x$

$x = \frac{16}{8} = 2$

Ответ: 2

в)

На рисунке изображен прямоугольный треугольник, в котором высота, проведенная к гипотенузе, равна $\sqrt{10}$. Эта высота делит гипотенузу на отрезки длиной 3 и $x$.

Используем свойство высоты в прямоугольном треугольнике: квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу.

$h^2 = p_1 \cdot p_2$

В данном случае $h = \sqrt{10}$, $p_1 = 3$, $p_2 = x$.

Подставим значения в формулу:

$(\sqrt{10})^2 = 3 \cdot x$

$10 = 3x$

$x = \frac{10}{3}$

Ответ: $\frac{10}{3}$

г)

На рисунке изображен прямоугольный треугольник. Высота $h$, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, делит ее на отрезки длиной 9 и $x$. Угол, прилежащий к отрезку $x$, равен $\alpha$, и известно, что $\tg \alpha = \frac{3}{4}$.

Высота делит исходный треугольник на два меньших прямоугольных треугольника, подобных исходному. Пусть высота будет $h$.

Рассмотрим правый малый треугольник, одним из катетов которого является отрезок $x$. В этом треугольнике $h$ — противолежащий катет для угла $\alpha$, а $x$ — прилежащий катет. Таким образом:

$\tg \alpha = \frac{h}{x}$

Рассмотрим левый малый треугольник. Его острые углы равны $\alpha$ и $90^\circ - \alpha$. Угол при основании (у левой вершины большого треугольника) равен $90^\circ - \alpha$. Значит, другой острый угол этого малого треугольника (часть прямого угла большого треугольника) равен $\alpha$. Для этого угла катет, равный 9, является противолежащим, а высота $h$ — прилежащим.

$\tg \alpha = \frac{9}{h}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\frac{3}{4} = \frac{h}{x}$

$\frac{3}{4} = \frac{9}{h}$

Из второго уравнения находим $h$:

$3h = 4 \cdot 9 \implies 3h = 36$

$h = 12$

Подставляем найденное значение $h$ в первое уравнение:

$\frac{3}{4} = \frac{12}{x}$

$3x = 4 \cdot 12 \implies 3x = 48$

$x = 16$

Ответ: 16