Номер 6.7, страница 136 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

6.7. a) Острый угол прямоугольного треугольника равен $30^{\circ}$, а высота, проведенная к гипотенузе, равна $n$. Найдите гипотенузу.

б) Острый угол прямоугольного треугольника равен $30^{\circ}$, а проекция большего катета на гипотенузу равна $k$. Найдите гипотенузу.

а)

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ ($∠C=90^\circ$). Один из его острых углов равен $30^\circ$, пусть это будет $∠A$. Тогда второй острый угол $∠B = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Проведем высоту $CD$ из вершины прямого угла к гипотенузе $AB$. По условию, ее длина $CD = n$. Эта высота делит гипотенузу на два отрезка: $AD$ и $BD$. Гипотенуза $AB = AD + BD$.

Высота $CD$ образует два прямоугольных треугольника: $ADC$ и $BDC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$ ($∠ADC = 90^\circ$). В нем известен угол $∠A = 30^\circ$ и противолежащий ему катет $CD = n$. Найдем катет $AD$ через тангенс угла $A$:
$tan(A) = \frac{CD}{AD}$
$AD = \frac{CD}{tan(A)} = \frac{n}{tan(30^\circ)} = \frac{n}{1/\sqrt{3}} = n\sqrt{3}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BDC$ ($∠BDC = 90^\circ$). В нем известен угол $∠B = 60^\circ$ и противолежащий ему катет $CD = n$. Найдем катет $BD$ через тангенс угла $B$:
$tan(B) = \frac{CD}{BD}$
$BD = \frac{CD}{tan(B)} = \frac{n}{tan(60^\circ)} = \frac{n}{\sqrt{3}}$

Теперь мы можем найти длину гипотенузы $AB$, сложив длины ее частей $AD$ и $BD$:
$AB = AD + BD = n\sqrt{3} + \frac{n}{\sqrt{3}} = \frac{n\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + n}{\sqrt{3}} = \frac{3n + n}{\sqrt{3}} = \frac{4n}{\sqrt{3}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе можно домножить числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$AB = \frac{4n\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{4n}{\sqrt{3}}$ или $\frac{4n\sqrt{3}}{3}$.

б)

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ ($∠C=90^\circ$). Один из острых углов равен $30^\circ$, пусть это будет $∠A$. Тогда второй острый угол $∠B = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Сравним катеты $AC$ и $BC$. Катет $AC$ лежит против угла $B=60^\circ$, а катет $BC$ — против угла $A=30^\circ$. Так как $60^\circ > 30^\circ$, то $AC > BC$. Следовательно, $AC$ — больший катет.

Проведем высоту $CD$ из вершины $C$ на гипотенузу $AB$. Отрезок $AD$ является проекцией катета $AC$ на гипотенузу. По условию, длина этой проекции $AD = k$.

В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Для катета $AC$ это соотношение выглядит так:
$AC^2 = AB \cdot AD$
$AC^2 = AB \cdot k$

В то же время, из основного треугольника $ABC$ мы можем выразить катет $AC$ через гипотенузу $AB$ и угол $A$:
$cos(A) = \frac{AC}{AB}$
$AC = AB \cdot cos(A) = AB \cdot cos(30^\circ) = AB \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим это выражение для $AC$ в предыдущее равенство:
$(AB \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})^2 = AB \cdot k$
$AB^2 \cdot \frac{3}{4} = AB \cdot k$

Поскольку длина гипотенузы $AB$ не равна нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $AB$:
$AB \cdot \frac{3}{4} = k$

Из этого уравнения находим гипотенузу $AB$:
$AB = k \cdot \frac{4}{3} = \frac{4k}{3}$

Ответ: $\frac{4k}{3}$.