Номер 7.7, страница 138 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

7.7. а) Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 6 см, а синус угла при основании равен $\frac{2}{3}$. Найдите радиус описанной около треугольника окружности.

б) Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 8 см, а радиус описанной около треугольника окружности — $5\frac{1}{3}$ см. Найдите синус угла при основании треугольника.

а)

Для решения этой задачи воспользуемся обобщенной теоремой синусов. Согласно этой теореме, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла равно диаметру ($2R$) описанной около этого треугольника окружности:

$ \frac{a}{\sin\alpha} = 2R $

где $a$ — сторона треугольника, $\alpha$ — угол, противолежащий этой стороне, а $R$ — радиус описанной окружности.

В равнобедренном треугольнике боковая сторона лежит напротив угла при основании. Пусть нам дан равнобедренный треугольник со сторонами $a$, $b$, $c$, где боковые стороны $a=b=6$ см. Углы при основании равны, обозначим их как $\alpha$. По условию, синус этого угла равен $\sin\alpha = \frac{2}{3}$.

Возьмем боковую сторону $a = 6$ см и противолежащий ей угол при основании $\alpha$. Подставим известные значения в формулу теоремы синусов:

$ \frac{6}{\frac{2}{3}} = 2R $

Вычислим левую часть уравнения, чтобы найти диаметр $2R$:

$ 2R = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9 $ см.

Теперь найдем радиус $R$, разделив диаметр на 2:

$ R = \frac{9}{2} = 4,5 $ см.

Ответ: 4,5 см.

б)

Эта задача также решается с помощью обобщенной теоремы синусов:

$ \frac{a}{\sin\alpha} = 2R $

По условию, боковая сторона равнобедренного треугольника равна $a = 8$ см, а радиус описанной окружности $R = 5\frac{1}{3}$ см. Нам нужно найти синус угла при основании ($\sin\alpha$), который в равнобедренном треугольнике лежит напротив боковой стороны.

Сначала преобразуем значение радиуса в неправильную дробь для удобства вычислений:

$ R = 5\frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{16}{3} $ см.

Из формулы теоремы синусов выразим искомую величину $\sin\alpha$:

$ \sin\alpha = \frac{a}{2R} $

Подставим известные значения $a=8$ и $R=\frac{16}{3}$:

$ \sin\alpha = \frac{8}{2 \cdot \frac{16}{3}} = \frac{8}{\frac{32}{3}} $

Выполним деление, умножив числитель на дробь, обратную знаменателю:

$ \sin\alpha = 8 \cdot \frac{3}{32} = \frac{24}{32} $

Сократим полученную дробь на 8:

$ \sin\alpha = \frac{24 \div 8}{32 \div 8} = \frac{3}{4} $

Ответ: $\frac{3}{4}$.