Номер 7.14, страница 140 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

7.14. a) В треугольник $ABC$ со сторонами $AB = 8$, $BC = 10$, $AC = 12$ вписана окружность, которая касается сторон треугольника в точках $M$, $K$, $P$ соответственно. Найдите наименьший из отрезков $AM$, $BK$, $CP$.

б) В треугольник $ABC$ со сторонами $AB = 8$, $BC = 6$, $AC = 4$ вписана окружность, которая касается сторон треугольника в точках $M$, $K$, $P$ соответственно. Найдите наибольший из отрезков $AM$, $BK$, $CP$.

а)

Пусть вписанная окружность касается сторон $AB$, $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$. Точки касания на сторонах $AB$, $BC$ и $AC$ будем считать $M'$, $K'$ и $P'$ соответственно. Согласно свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, длины отрезков от вершины до точек касания равны:

• $AM' = AP'$
• $BM' = BK'$
• $CK' = CP'$

В задаче требуется найти длины отрезков $AM$, $BK$, $CP$. Наиболее естественная трактовка условия заключается в том, что это длины касательных от вершин $A$, $B$ и $C$ соответственно. То есть, $AM$ — это длина касательной из вершины $A$, $BK$ — из $B$, а $CP$ — из $C$.

Обозначим эти длины:

• $x = AM$ (длина касательной из $A$)
• $y = BK$ (длина касательной из $B$)
• $z = CP$ (длина касательной из $C$)

Тогда стороны треугольника можно выразить через эти длины:

• $AB = x + y$
• $BC = y + z$
• $AC = x + z$

Подставив известные длины сторон ($AB = 8$, $BC = 10$, $AC = 12$), получим систему уравнений:

• $x + y = 8$
• $y + z = 10$
• $x + z = 12$

Для нахождения искомых длин отрезков удобно использовать формулы, связывающие их с полупериметром треугольника $p$. Сначала вычислим полупериметр:

$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{8 + 10 + 12}{2} = \frac{30}{2} = 15$

Длины отрезков касательных от вершин вычисляются по формулам (длина отрезка от вершины равна полупериметру минус длина противолежащей стороны):

• $AM = p - BC = 15 - 10 = 5$
• $BK = p - AC = 15 - 12 = 3$
• $CP = p - AB = 15 - 8 = 7$

Мы получили длины трех отрезков: 5, 3 и 7. По условию, требуется найти наименьший из них.

Сравнивая значения, находим наименьшее: $\min(5, 3, 7) = 3$. Это длина отрезка $BK$.

Ответ: 3

б)

Решение этого пункта аналогично предыдущему. Даны стороны треугольника $ABC$: $AB = 8$, $BC = 6$, $AC = 4$. Требуется найти наибольший из отрезков $AM$, $BK$, $CP$, которые представляют собой длины касательных от соответствующих вершин.

1. Находим полупериметр $p$ треугольника:

$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{8 + 6 + 4}{2} = \frac{18}{2} = 9$

2. Вычисляем длины отрезков $AM$, $BK$, $CP$ по тем же формулам:

• $AM = p - BC = 9 - 6 = 3$
• $BK = p - AC = 9 - 4 = 5$
• $CP = p - AB = 9 - 8 = 1$

3. Получили длины отрезков: $AM = 3$, $BK = 5$, $CP = 1$. Сравниваем их, чтобы найти наибольшую, как требуется в условии.

Наибольшее значение: $\max(3, 5, 1) = 5$. Это длина отрезка $BK$.

Ответ: 5