Номер 7.15, страница 140 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

7.15. а) Точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$, $BE$ — биссектриса этого треугольника, $BO : OE = 2 : 1$, $AC = 7$, $BC = 8$. Найдите сторону $AB$.

б) В треугольник $ABC$ вписана окружность с центром $P$. $AB = 8$, $BC = 10$, $AC = 12$. Найдите отношение отрезков $AP$ и $PK$, если $AK$ — биссектриса треугольника $ABC$.

По условию, точка O — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Это означает, что O является точкой пересечения биссектрис углов треугольника.
Поскольку BE — биссектриса угла B, точка O лежит на отрезке BE. Также отрезок AO является биссектрисой угла A.

Рассмотрим треугольник ABE. В этом треугольнике отрезок AO является биссектрисой угла BAE. По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону (в данном случае BE) на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам (AB и AE). Таким образом, мы можем записать соотношение:
$ \frac{BO}{OE} = \frac{AB}{AE} $

Из условия задачи известно, что $ BO : OE = 2 : 1 $, следовательно, $ \frac{BO}{OE} = 2 $.
Подставив это значение в полученное выше равенство, имеем:
$ \frac{AB}{AE} = 2 \implies AB = 2 \cdot AE $

Теперь рассмотрим исходный треугольник ABC. BE — биссектриса угла ABC. По свойству биссектрисы, она делит противолежащую сторону AC на отрезки AE и EC, пропорциональные прилежащим сторонам AB и BC:
$ \frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} $

Нам даны длины сторон: $ AC = 7 $ и $ BC = 8 $. Отрезок $ EC $ можно выразить через $ AE $: $ EC = AC - AE = 7 - AE $.
Подставим известные значения и полученное ранее выражение для AB в формулу свойства биссектрисы:
$ \frac{AE}{7 - AE} = \frac{2 \cdot AE}{8} $

Поскольку AE — это длина отрезка, $ AE \neq 0 $, мы можем разделить обе части уравнения на AE:
$ \frac{1}{7 - AE} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} $
Отсюда, решая пропорцию, получаем:
$ 4 = 7 - AE $
$ AE = 7 - 4 = 3 $

Наконец, находим длину стороны AB, используя соотношение $ AB = 2 \cdot AE $:
$ AB = 2 \cdot 3 = 6 $

Ответ: 6.

По условию, точка P — центр вписанной в треугольник ABC окружности, следовательно, P является точкой пересечения биссектрис треугольника.
Так как AK — биссектриса угла A, то точка P лежит на отрезке AK. Отрезок BP является биссектрисой угла B.

Чтобы найти отношение отрезков AP и PK, рассмотрим треугольник ABK. В этом треугольнике отрезок BP является биссектрисой угла ABK (что то же самое, что и угол ABC). По свойству биссектрисы, она делит противолежащую сторону AK на отрезки AP и PK, пропорциональные прилежащим сторонам AB и BK:
$ \frac{AP}{PK} = \frac{AB}{BK} $

Для нахождения искомого отношения нам необходимо найти длину отрезка BK.

Рассмотрим исходный треугольник ABC. AK — биссектриса угла A. По свойству биссектрисы, она делит противолежащую сторону BC на отрезки BK и KC, пропорциональные прилежащим сторонам AB и AC:
$ \frac{BK}{KC} = \frac{AB}{AC} $

Из условия задачи известны длины сторон: $ AB = 8 $, $ AC = 12 $ и $ BC = 10 $.
Подставим известные значения в это соотношение:
$ \frac{BK}{KC} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} $
Мы знаем, что $ BK + KC = BC = 10 $. Пусть $ BK = 2x $, тогда $ KC = 3x $.
$ 2x + 3x = 10 $
$ 5x = 10 $
$ x = 2 $
Следовательно, длина отрезка BK равна $ BK = 2x = 2 \cdot 2 = 4 $.

Теперь мы можем найти искомое отношение $ \frac{AP}{PK} $:
$ \frac{AP}{PK} = \frac{AB}{BK} = \frac{8}{4} = 2 $

Ответ: 2.