Номер 8.1, страница 141 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

8.1. Окружность с центром $O$ радиусом $R$ описана около треугольника $ABC$. Найдите $R$, используя данные рисунков 226, а)—д).

Рис. 226

а)

Данный треугольник $ABC$ является прямоугольным, так как угол $B$ прямой ($\angle B = 90^\circ$). Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, всегда находится на середине его гипотенузы. Следовательно, радиус $R$ этой окружности равен половине длины гипотенузы $AC$.

Найдем длину гипотенузы $AC$ с помощью теоремы Пифагора: $AC^2 = AB^2 + BC^2$.

Подставим длины катетов, данные на рисунке: $AB=3$ и $BC=2$.

$AC^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$.

Отсюда $AC = \sqrt{13}$.

Радиус $R$ равен половине гипотенузы:

$R = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{13}}{2}$.

Ответ: $R = \frac{\sqrt{13}}{2}$.

б)

Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся следствием из теоремы синусов, которое гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности: $\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$.

Из рисунка видно, что нам дана сторона $BC=6$ и противолежащий ей угол $\angle BAC = 30^\circ$.

Применим формулу:

$\frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = 2R$.

Подставим известные значения:

$\frac{6}{\sin(30^\circ)} = 2R$.

Зная, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$\frac{6}{\frac{1}{2}} = 2R$.

$12 = 2R$.

$R = 6$.

Ответ: $R=6$.

в)

В этом треугольнике известны длины всех трех сторон: $AB = \sqrt{11}$, $BC = 5$ и $AC = 6$. Для нахождения радиуса описанной окружности $R$ можно использовать теорему синусов, предварительно найдя синус одного из углов. Найдем синус угла $C$, противолежащего стороне $AB$.

Сначала найдем косинус угла $C$ по теореме косинусов: $AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$.

$(\sqrt{11})^2 = 6^2 + 5^2 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cos(\angle C)$.

$11 = 36 + 25 - 60 \cos(\angle C)$.

$11 = 61 - 60 \cos(\angle C)$.

$60 \cos(\angle C) = 61 - 11 = 50$.

$\cos(\angle C) = \frac{50}{60} = \frac{5}{6}$.

Теперь найдем синус угла $C$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2(\angle C) + \cos^2(\angle C) = 1$.

$\sin^2(\angle C) = 1 - \cos^2(\angle C) = 1 - (\frac{5}{6})^2 = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$.

Поскольку $\angle C$ — угол треугольника, его синус положителен: $\sin(\angle C) = \sqrt{\frac{11}{36}} = \frac{\sqrt{11}}{6}$.

Теперь по теореме синусов: $\frac{AB}{\sin(\angle C)} = 2R$.

$\frac{\sqrt{11}}{\frac{\sqrt{11}}{6}} = 2R$.

$6 = 2R$.

$R = 3$.

Ответ: $R=3$.

г)

На рисунке изображен треугольник $ABC$, у которого известен угол $\angle ABC = 120^\circ$ и, судя по расположению, длина противолежащей ему стороны $AC = 4\sqrt{3}$. (Отметим, что штрихи на сторонах $AB$ и $BC$ указывают на то, что треугольник равнобедренный, но эта информация не требуется для решения при данной интерпретации данных).

Используем следствие из теоремы синусов: $\frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = 2R$.

Подставим известные значения:

$\frac{4\sqrt{3}}{\sin(120^\circ)} = 2R$.

Значение синуса $120^\circ$ равно $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$.

$4\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 2R$.

$8 = 2R$.

$R = 4$.

Ответ: $R=4$.

д)

Из рисунка следует, что центр описанной окружности $O$ лежит на стороне $AC$. Это возможно только в том случае, если сторона $AC$ является диаметром окружности. Треугольник, вписанный в окружность, одна из сторон которого является диаметром, является прямоугольным. Угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$, следовательно, $\angle ABC = 90^\circ$.

Таким образом, $ABC$ — прямоугольный треугольник, а $AC$ — его гипотенуза. Длина гипотенузы $AC = 2R$.

$BH$ — высота, проведенная к гипотенузе. Известна длина катета $AB=6$ и отрезка гипотенузы $HC=16$.

В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. Для катета $AB$ и его проекции $AH$ это соотношение выглядит так: $AB^2 = AH \cdot AC$.

Выразим $AH$ через $R$: $AH = AC - HC = 2R - 16$.

Подставим все в формулу:

$6^2 = (2R - 16) \cdot 2R$.

$36 = 4R^2 - 32R$.

Разделим обе части уравнения на 4, чтобы упростить его:

$9 = R^2 - 8R$.

$R^2 - 8R - 9 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Его корнями являются $R_1 = 9$ и $R_2 = -1$. Так как радиус должен быть положительной величиной, выбираем $R = 9$.

Ответ: $R=9$.