Номер 7.9, страница 139 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

7.9. a) Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 14 см, высота, проведенная к основанию, равна $6\sqrt{5}$ см. Найдите расстояние между точками касания вписанной в треугольник окружности с боковыми сторонами треугольника.

б) Синус угла при основании равнобедренного треугольника равен $\frac{\sqrt{15}}{4}$, боковая сторона треугольника равна 16 см. Найдите расстояние между точками касания вписанной в треугольник окружности с боковыми сторонами треугольника.

а)

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Боковые стороны $AB = BC = 14$ см. Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$, по условию $BH = 6\sqrt{5}$ см. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме Пифагора найдем половину основания $AH$:

$AH^2 = AB^2 - BH^2 = 14^2 - (6\sqrt{5})^2 = 196 - 36 \cdot 5 = 196 - 180 = 16$

$AH = \sqrt{16} = 4$ см.

Следовательно, основание треугольника $AC$ равно:

$AC = 2 \cdot AH = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Пусть вписанная окружность касается боковых сторон $AB$ и $BC$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Искомое расстояние - это длина отрезка $KL$.

Центр вписанной окружности лежит на высоте $BH$, которая является осью симметрии треугольника. Поэтому точка касания окружности с основанием $AC$ - это точка $H$. По свойству отрезков касательных, проведенных из одной вершины к вписанной окружности, имеем $AK = AH = 4$ см.

Теперь можем найти длину отрезка $BK$:

$BK = AB - AK = 14 - 4 = 10$ см.

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то $BL = BK = 10$ см.

Рассмотрим треугольники $BKL$ и $BAC$. Угол $\angle B$ у них общий. Стороны, образующие этот угол, пропорциональны:

$\frac{BK}{BA} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$

$\frac{BL}{BC} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$

Следовательно, треугольник $BKL$ подобен треугольнику $BAC$ по второму признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними). Коэффициент подобия $k = \frac{5}{7}$.

Сторона $KL$ в треугольнике $BKL$ соответствует стороне $AC$ в треугольнике $BAC$. Таким образом, их отношение равно коэффициенту подобия:

$KL = k \cdot AC = \frac{5}{7} \cdot 8 = \frac{40}{7}$ см.

Ответ: $\frac{40}{7}$ см.

б)

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Боковые стороны $AB = BC = 16$ см. Синус угла при основании, например $\angle A$, равен $\sin A = \frac{\sqrt{15}}{4}$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании острые, поэтому $\cos A > 0$. Найдем косинус угла $A$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$:

$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - \left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2 = 1 - \frac{15}{16} = \frac{1}{16}$

$\cos A = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$

Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ катет $AH$ равен:

$AH = AB \cdot \cos A = 16 \cdot \frac{1}{4} = 4$ см.

Так как высота $BH$ является и медианой, то основание $AC$ равно:

$AC = 2 \cdot AH = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Пусть вписанная окружность касается боковых сторон $AB$ и $BC$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Искомое расстояние - это длина отрезка $KL$.

Как и в предыдущей задаче, точка касания вписанной окружности с основанием - это точка $H$. По свойству касательных, $AK = AH = 4$ см.

Найдем длину отрезка $BK$:

$BK = AB - AK = 16 - 4 = 12$ см.

Треугольник $BKL$ подобен треугольнику $BAC$ с коэффициентом подобия $k$:

$k = \frac{BK}{BA} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$

Искомое расстояние $KL$ находим из подобия:

$KL = k \cdot AC = \frac{3}{4} \cdot 8 = 6$ см.

Ответ: 6 см.