Номер 7.4, страница 137 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

7.4. a) Найдите расстояние от точки P до прямой BC, используя данные рисунка 220.

б) Найдите угол $\alpha$, используя данные рисунка 221.

Рис. 220

Рис. 221

а)

Рассмотрим треугольник, изображенный на рисунке 220. Точка $P$ находится внутри него.
На рисунке видно, что луч, исходящий из вершины $A$ и проходящий через точку $P$, делит угол при этой вершине на два равных угла. Это показано одинаковыми двойными дугами. Следовательно, $AP$ является биссектрисой угла $\angle A$.
Аналогично, луч, исходящий из вершины $C$ и проходящий через точку $P$, делит угол при вершине $C$ на два равных угла, что показано одинарными дугами. Следовательно, $CP$ является биссектрисой угла $\angle C$.
Точка $P$ — это точка пересечения биссектрис углов $\angle A$ и $\angle C$. Точка пересечения биссектрис углов треугольника является центром вписанной в него окружности (инцентром) и обладает свойством равноудаленности от всех сторон треугольника.
Согласно свойству биссектрисы, любая точка на биссектрисе угла равноудалена от его сторон.
Так как $P$ лежит на биссектрисе угла $\angle A$, расстояние от $P$ до стороны $AB$ равно расстоянию от $P$ до стороны $AC$.
Так как $P$ лежит на биссектрисе угла $\angle C$, расстояние от $P$ до стороны $AC$ равно расстоянию от $P$ до стороны $BC$.
Таким образом, расстояние от $P$ до $AB$ равно расстоянию от $P$ до $BC$.
Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. По условию, длина перпендикуляра от точки $P$ до прямой $AB$ равна 4.
Следовательно, искомое расстояние от точки $P$ до прямой $BC$ также равно 4.

Ответ: 4.

б)

На рисунке 221 показан треугольник с вписанной в него окружностью. Центр вписанной окружности (инцентр) — это точка пересечения биссектрис углов треугольника.
Следовательно, линии, соединяющие вершины треугольника с центром окружности, являются биссектрисами соответствующих углов.
Пусть углы треугольника будут $\angle A$ (верхний), $\angle B$ (нижний левый) и $\angle C = \alpha$ (правый).
Из рисунка следует, что половина угла $\angle A$ равна $25^{\circ}$. Значит, полный угол $\angle A$ равен $2 \times 25^{\circ} = 50^{\circ}$.
Половина угла $\angle B$ равна $35^{\circ}$. Значит, полный угол $\angle B$ равен $2 \times 35^{\circ} = 70^{\circ}$.
Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^{\circ}$. Поэтому:
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$
Подставим известные значения углов, чтобы найти $\alpha$:
$50^{\circ} + 70^{\circ} + \alpha = 180^{\circ}$
$120^{\circ} + \alpha = 180^{\circ}$
$\alpha = 180^{\circ} - 120^{\circ}$
$\alpha = 60^{\circ}$

Ответ: $60^{\circ}$.