Номер 7.8, страница 138 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

7.8. a) Точка $O$ находится на расстоянии 13 см от всех вершин треугольника $ABC$ и на расстоянии 5 см от стороны $AB$. Найдите сторону $AB$.

б) Точка $P$ равноудалена от всех вершин треугольника $ABK$. Расстояние от точки $P$ до стороны $AB$ равно 8 см, $AB = 30$ см. Найдите $AP$.

а)

Поскольку точка $O$ находится на одинаковом расстоянии от всех вершин треугольника $ABC$, она является центром описанной около этого треугольника окружности. Расстояние от центра описанной окружности до любой из вершин является ее радиусом $R$. Таким образом, $OA = OB = OC = R = 13$ см.

Рассмотрим треугольник $AOB$. В нем стороны $OA$ и $OB$ равны как радиусы, следовательно, треугольник $AOB$ — равнобедренный с основанием $AB$.

Расстояние от точки $O$ до стороны $AB$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на прямую $AB$. Обозначим основание этого перпендикуляра буквой $H$. Таким образом, $OH$ — высота треугольника $AOB$, и по условию $OH = 5$ см.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Значит, точка $H$ — середина стороны $AB$, и $AH = HB = \frac{1}{2}AB$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHA$ (угол $OHA = 90^\circ$). Его гипотенуза $OA = 13$ см, а катет $OH = 5$ см. По теореме Пифагора найдем катет $AH$:

$OA^2 = OH^2 + AH^2$

$13^2 = 5^2 + AH^2$

$169 = 25 + AH^2$

$AH^2 = 169 - 25 = 144$

$AH = \sqrt{144} = 12$ см.

Так как $H$ — середина $AB$, то длина стороны $AB$ равна:

$AB = 2 \cdot AH = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Ответ: 24 см.

б)

По условию точка $P$ равноудалена от всех вершин треугольника $ABK$, значит, $AP = BP = KP$. Нам нужно найти длину $AP$.

Рассмотрим треугольник $APB$. Поскольку $AP = BP$, этот треугольник является равнобедренным с основанием $AB$.

Расстояние от точки $P$ до стороны $AB$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $P$ на сторону $AB$. Обозначим основание этого перпендикуляра буквой $M$. По условию $PM = 8$ см. Отрезок $PM$ является высотой в треугольнике $APB$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Следовательно, точка $M$ делит основание $AB$ пополам: $AM = MB = \frac{1}{2}AB$.

По условию $AB = 30$ см, значит:

$AM = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $PMA$ (угол $PMA = 90^\circ$). В нем катеты $PM = 8$ см и $AM = 15$ см. Гипотенуза $AP$ — это искомое расстояние. По теореме Пифагора:

$AP^2 = PM^2 + AM^2$

$AP^2 = 8^2 + 15^2$

$AP^2 = 64 + 225 = 289$

$AP = \sqrt{289} = 17$ см.

Ответ: 17 см.